Aufgaben:Exercise 1.3: System Comparison at AWGN Channel

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Für den Vergleich verschiedener Modulationsverfahren und Demodulatoren hinsichtlich der Rauschempfindlichkeit gehen wir meist vom so genannten $\text{AWGN}$–Kanal aus und beschreiben folgendes doppelt–logarithmische Diagramm:

• Die Ordinate gibt den Sinken–Störabstand (SNR logarithmiert) $10 · lg ρ_υ$ in dB an.
• Auf der Abszisse ist $10 · lg ξ$ aufgetragen, wobei für die normierte Leistungskenngröße gilt:

$$ \xi = \frac{P_{\rm S} \cdot \alpha_{\rm K}^2 }{{N_0} \cdot B_{\rm NF}}\hspace{0.05cm}.$$

• In $ξ$ sind also die Sendeleistung $P_S$, der Kanaldämpfungsfaktor $α_K$, die Rauschleistungsdichte $N_0$ sowie die Bandbreite $B_{NF}$ des Nachrichtensignals in geeigneter Weise zusammengefasst.
• Wenn nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben ist, soll in der Aufgabe von folgenden Werten ausgegangen werden:

$$P_S=5KW , \alpha_k = 0.001 , N_0= 10^{ -10 } \frac{W}{Hz} , B_{NF} = 5 kHz$$ In der Grafik sind zwei Systeme eingezeichnet, deren (x, y)–Verlauf wie folgt beschrieben werden kann:

• System A:

$y = x+1$

• System B:

$$ y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right)\hspace{0.05cm}.$$ Die in der Grafik zusätzlich grün eingezeichneten Achsenbeschriftungen haben folgende Bedeutung: $$ x = \frac{10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi} {10 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}y = \frac{10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v} {10 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ So steht $x = 4$ für $10 · lg ξ = 40$ dB bzw. $ξ = 104$ und $y = 5$ für $10 · lg ρ_υ = 50$ dB, also $ρ_υ = 105$.

Hinweis:Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.2.

Fragebogen

1

Welcher Sinken–Störabstand (in dB) ergibt sich bei System A mit $P_S = 5 kW$, $α_K = 0.001$, $N_0 = 10^{ –10 } W/Hz$ und $B_{NF} = 5 kHz$?

$System A: 10 · lg ρ_υ$ = $\text{dB}$

2

Es wird nun $10 · lg ρ_υ ≥ 60$ dB gefordert. Durch welche Maßnahmen (jeweils für sich allein) ist dies zu erreichen?

	Erhöhung der Sendeleistung $P_S$ von $5 kW$ auf $10 kW$.
	Erhöhung des Kanaldämpfungsfaktors $α_K4 von 0.001 auf 0.004.
	Reduzierung der Rauschleistungsdichte $N_0$ auf $10^{ –11 } W/Hz$ .
	Erhöhung der $NF$–Bandbreite von $5 kHz$ auf $6 kHz$.

3

Welcher Störabstand ergibt sich bei System $B$ mit 410 · lg ξ = 40$ dB?

$System B$ : $10 · lg ρ_υ$ = $\text{dB}$

4

Gefordert wird der Störabstand $10 · lg ρ_υ = 50$ dB. Welche Sendeleistung $P_S$ genügt bei System $B$, um diese Qualität zu erzielen?

$P_S$= $\text{ kW }$

5

Für welchen Wert von $10 · lg ξ$ ist die Verbesserung des Systems B gegenüber System A am größten?

$10 · lg ξ$ = $\text{dB}$

Musterlösung

Solution

1.Die normierte Leistungskenngröße ergibt sich mit diesen Werten zu $$\xi = \frac{5 \cdot 10^3\,{\rm W}\cdot 10^{-6} }{10^{-10}\,{\rm W}/{\rm Hz} \cdot 5 \cdot 10^3\,{\rm Hz}} = 10^4 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 40\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x=4 \hspace{0.05cm}.$$ Damit ergibt sich der Hilfsordinatenwert $y = 5$, was zum Sinken-Störabstand $10 · lg ρ_v = 50$ dB führt.

2. Dies entspricht gegenüber dem bisher betrachteten System einer Erhöhung des Störabstandes um 10 dB, so dass auch $10 · lg ξ$ um 10 dB erhöht werden muss. $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 50\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \xi=10^5 \hspace{0.05cm}.$$ Ein 10–fach größerer $ξ$–Wert wird erreicht – vorausgesetzt die anderen Parameter bleiben jeweils gleich:

• durch die Sendeleistung $P_S = 50 kW$ statt 5 $kW$,
• durch den Dämpfungsfaktor $α_K = 0.00316$ anstelle von $0.001$,
• durch die Rauschleistungsdichte $N_0 = 10°{ –11 } W/Hz$ statt $10^{ –10 } W/Hz$,
• durch die Bandbreite $B_{NF} = 0.5 kHz$ statt $5 kHz$.

Richtig sind also die Alternativen 2 und 3.

3. Für $10 · lg ξ = 40$ dB ist die Hilfsgröße $x = 4$. Damit ergibt sich für die Hilfsgröße der Ordinate: $$y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-3} \right)\approx 5.7 \hspace{0.05cm}.$$ Dies entspricht dem Sinken–Störabstand $10 · lg ρ_υ = 57$ dB, also einer Verbesserung gegenüber dem System A um 7 dB.

4.Diese Problemstellung wird durch folgende Gleichung beschrieben: $$ y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) = 5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{-x+1} ={1}/{6}$$ $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \approx 2.79 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 27.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$ Bei System A war hierfür $10 · lg ξ = 40$ dB notwendig, was bei den weiter gegebenen Zahlenwerten durch $P_S = 5$ kW erreicht wurde. Nun kann die Sendeleistung um etwa 12.1 dB verringert werden: $$ 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}}= -12.1\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}} = 10^{-1.21}\approx 0.06\hspace{0.05cm}.$$ Das bedeutet, dass bei System B mit nur 6% der Sendeleistung von System A – also mit nur 0.3 kW – die gleiche Systemqualität erzielt wird.

5.Wir bezeichnen mit V (steht für Verbesserung) den größeren Sinken–Störabstand von System B gegenüber System A: $$V = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;B)} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;A)}$$ $$ = \left[6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) -x -1 \right] \cdot 10\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$ Durch Nullsetzen der Ableitung ergibt sich derjenige x–Wert, der zur maximalen Verbesserung führt: $$ \frac{{\rm d}V}{{\rm d}x} = 6 \cdot {\rm e}^{-x+1} -1\Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = \hspace{0.15cm}\underline {27.9\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ Es ergibt sich also genau der in (d) behandelte Fall mit $10 · lg ρ_υ = 50$ dB, während der Störabstand bei System A nur 37.9 dB beträgt. Die Verbesserung ist demnach 12.1 dB.