Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.4: 2S/3E Channel Model"

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{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit
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{{quiz-Header|Buchseite=Theory_of_Stochastic_Signals/Statistical_Dependence_and_Independence}}
}}
 
  
[[File:P_ID83__Sto_A_1_4.png|right|2S/3E-Kanalmodell]]
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[[File:EN_Sto_A_1_4.png|right|frame|$\rm 2S/3E$  channel model]]
Ein Sender gibt die binären Symbole $\rm L$ (Ereignis $S_{\rm L}$) und $H$ (Ereignis $S_{\rm H}$) ab.  
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A transmitter  (German:  "Sender"   ⇒   subscript  "S")  emits the binary symbols  $\rm L$  $($event  $S_{\rm L})$  and  $\rm H$  $($event  $S_{\rm H})$ .
*Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $\rm L$ (Ereignis $E_{\rm L}$) oder $H$ (Ereignis $E_{\rm H}$) .  
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*If conditions are good,  the digital receiver  (German:  "Empfänger"   ⇒   subscript  "E")  also decides only on the binary symbols  $\rm L$  $($event  $E_{\rm L})$  or  $\rm H$  $($event  $E_{\rm H})$.  
*Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung (Ereignis $E_{\rm K}$; $K$ steht dabei für „Keine Entscheidung”).
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*However,&nbsp;  if the receiver can suspect that an error has occurred during transmission,&nbsp; it makes no decision&nbsp; $($event&nbsp; $E_{\rm K})$;&nbsp; <br>$\rm K$&nbsp; here stands for&nbsp; "No decision".
  
Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten. Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes $\rm L$ durchaus als Symbol $\rm H$ empfangen werden kann. Dagegen ist der Übergang von $\rm H$ nach $\rm L$ nicht möglich.
 
  
Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$ und ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$.
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The diagram shows a simple channel model in terms of transition probabilities.&nbsp;
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*It can be seen that a transmitted&nbsp; $\rm L$&nbsp; may well be received as a symbol&nbsp; $\rm H$.&nbsp;
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*In contrast,&nbsp; the transition from&nbsp; $\rm H$&nbsp; to&nbsp; $\rm L$&nbsp; is not possible.
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*Let the symbol probabilities at the transmitter be&nbsp; ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$&nbsp; and&nbsp; ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$.
  
''Hinweise:''
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
 
:[[Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]
 
  
  
===Fragebogen===
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Hints:
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*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Statistical_Dependence_and_Independence|Statistical dependence and independence]].
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*The topic of this chapter is illustrated with examples in the&nbsp;  (German language)&nbsp;  learning video
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::[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] &nbsp; $\Rightarrow$ &nbsp; "Statistical dependence and independence".
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===Questions===
  
 
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<quiz display=simple>
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entscheidet?
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{What is the probability that the receiver chooses the symbol&nbsp; $\rm L$?
 
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${\rm Pr}(E_{\rm L}) \ = $  { 0.21 3% }
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${\rm Pr}(E_{\rm L}) \ = \ $  { 0.21 3% }
  
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol $\rm H$ entscheidet?
+
{What is the probability that the receiver chooses the symbol&nbsp; $\rm H$?
 
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${\rm Pr}(E_{\rm H}) \ = $ { 0.66 3% }
+
${\rm Pr}(E_{\rm H}) \ = \ $ { 0.66 3% }
  
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Empfänger keine Entscheidung trifft?
+
{What is the probability that the receiver does not make a decision?
 
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${\rm Pr}(E_{\rm K}) \ = $  { 0.13 3% }
+
${\rm Pr}(E_{\rm K}) \ = \ $  { 0.13 3% }
  
  
{Mit welcher Wahrscheinlichkeit entscheidet der Empfänger falsch?
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{What is the probability that the receiver makes a wrong decision?
 
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$\text{Pr(falsche Entscheidung)} \ = $  { 0.03 3% }
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$\text{Pr(wrong decision)} \ = \ $  { 0.03 3% }
  
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entschieden hat?
+
{What is the probability that symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; was actually sent if the receiver decided to use symbol&nbsp; $\rm L$?
 
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${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = $  { 1 3% }
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${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = \ $  { 1 3% }
  
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft?
+
{What is the probability that symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; was sent if the receiver does not make a decision?
 
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${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =$ { 0.4614 3% }
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${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $ { 0.4614 3% }
  
  
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</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
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===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Nur wenn das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, kann sich der Empf&auml;nger beim gegebenen Kanal f&uuml;r das Symbol $\rm L$ entscheiden. Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein empfangenes $\rm L$ ist allerdings um den Faktor $0.7$ kleiner als f&uuml;r ein gesendetes. Daraus folgt:   
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'''(1)'''&nbsp; Only if the symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; was sent,&nbsp; the receiver can decide for the symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; at the given channel.  
$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$
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*However,&nbsp; the probability for a received&nbsp; $\rm L$&nbsp; is smaller by a factor of&nbsp; $0.7$&nbsp; than for a sent one.&nbsp; From this follows:   
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:$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$
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'''(2)'''&nbsp; To the event&nbsp; $E_{\rm H}$&nbsp; one comes from&nbsp;  $S_{\rm H}$&nbsp; as well as from&nbsp; $S_{\rm L}$.&nbsp; Therefore holds:
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:$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { =  \rm 0.66}.$$
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'''(3)'''&nbsp; The events&nbsp; $E_{\rm H}$,&nbsp; $E_{\rm L}$&nbsp; and&nbsp; $E_{\rm K}$&nbsp; together form a complete system.&nbsp; It follows that:
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:$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr}  (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
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'''(4)'''&nbsp; A wrong decision can be characterized in set-theoretic terms as follows:
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:$${\rm Pr} \text{(wrong decision)} = {\rm Pr} \big [(S_{\rm L} \cap E_{\rm H}) \cup (S_{\rm H} \cap E_{\rm L})\big ] = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Zum Ereignis $E_{\rm H}$ kommt man sowohl von  $S_{\rm H}$ als auch von $S_{\rm L}$ aus. Deshalb gilt:
 
$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = \rm Pr (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { =  \rm 0.66}.$$
 
  
'''(3)'''&nbsp; Die Ereignisse $E_{\rm H}$, $E_{\rm L}$ und $E_{\rm K}$ bilden zusammen ein vollst&auml;ndiges System. Daraus folgt:
+
'''(5)'''&nbsp; If the symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; was received,&nbsp; only&nbsp; $\rm L$&nbsp; could have been sent. It follows that:  
$${\rm Pr} (E_{\rm K}) =\rm  1 - {\rm Pr} (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
+
:$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$
  
'''(4)'''&nbsp; Eine falsche Entscheidung kann man mengentheoretisch wie folgt charakterisieren:
 
$$\rm Pr (falsche\hspace{0.1cm}Entscheidung) = Pr (S_{\rm L} \cap E_{\rm H} \cup S_{\rm H} \cap E_{\rm L}) = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$
 
  
'''(5)'''&nbsp; Wenn das Symbol $\rm L$ empfangen wurde, kann nur $\rm L$ gesendet worden sein. Daraus folgt:
 
$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$
 
  
'''(6)'''&nbsp; Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe eignet sich zum Beispiel der Satz von Bayes:
+
'''(6)'''&nbsp; For example,&nbsp; Bayes' theorem is suitable for solving this problem:
$${\rm Pr} (S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm K}) =\frac{ {\rm Pr} ( E_{\rm K} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (S_{\rm L})}{{\rm Pr} (E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$
+
:$${\rm Pr} (S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm K}) =\frac{ {\rm Pr} ( E_{\rm K} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (S_{\rm L})}{{\rm Pr} (E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^1.3 Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit^]]
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[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises|^1.3 Statistical Dependence/Independence^]]

Latest revision as of 15:17, 30 November 2021

$\rm 2S/3E$  channel model

A transmitter  (German:  "Sender"   ⇒   subscript  "S")  emits the binary symbols  $\rm L$  $($event  $S_{\rm L})$  and  $\rm H$  $($event  $S_{\rm H})$ .

  • If conditions are good,  the digital receiver  (German:  "Empfänger"   ⇒   subscript  "E")  also decides only on the binary symbols  $\rm L$  $($event  $E_{\rm L})$  or  $\rm H$  $($event  $E_{\rm H})$.
  • However,  if the receiver can suspect that an error has occurred during transmission,  it makes no decision  $($event  $E_{\rm K})$; 
    $\rm K$  here stands for  "No decision".


The diagram shows a simple channel model in terms of transition probabilities. 

  • It can be seen that a transmitted  $\rm L$  may well be received as a symbol  $\rm H$. 
  • In contrast,  the transition from  $\rm H$  to  $\rm L$  is not possible.
  • Let the symbol probabilities at the transmitter be  ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$  and  ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$.




Hints:

  • The topic of this chapter is illustrated with examples in the  (German language)  learning video
Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit   $\Rightarrow$   "Statistical dependence and independence".


Questions

1

What is the probability that the receiver chooses the symbol  $\rm L$?

${\rm Pr}(E_{\rm L}) \ = \ $

2

What is the probability that the receiver chooses the symbol  $\rm H$?

${\rm Pr}(E_{\rm H}) \ = \ $

3

What is the probability that the receiver does not make a decision?

${\rm Pr}(E_{\rm K}) \ = \ $

4

What is the probability that the receiver makes a wrong decision?

$\text{Pr(wrong decision)} \ = \ $

5

What is the probability that symbol  $\rm L$  was actually sent if the receiver decided to use symbol  $\rm L$?

${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = \ $

6

What is the probability that symbol  $\rm L$  was sent if the receiver does not make a decision?

${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $


Solution

(1)  Only if the symbol  $\rm L$  was sent,  the receiver can decide for the symbol  $\rm L$  at the given channel.

  • However,  the probability for a received  $\rm L$  is smaller by a factor of  $0.7$  than for a sent one.  From this follows:
$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$


(2)  To the event  $E_{\rm H}$  one comes from  $S_{\rm H}$  as well as from  $S_{\rm L}$.  Therefore holds:

$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = \rm 0.66}.$$


(3)  The events  $E_{\rm H}$,  $E_{\rm L}$  and  $E_{\rm K}$  together form a complete system.  It follows that:

$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr} (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$


(4)  A wrong decision can be characterized in set-theoretic terms as follows:

$${\rm Pr} \text{(wrong decision)} = {\rm Pr} \big [(S_{\rm L} \cap E_{\rm H}) \cup (S_{\rm H} \cap E_{\rm L})\big ] = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$


(5)  If the symbol  $\rm L$  was received,  only  $\rm L$  could have been sent. It follows that:

$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$


(6)  For example,  Bayes' theorem is suitable for solving this problem:

$${\rm Pr} (S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm K}) =\frac{ {\rm Pr} ( E_{\rm K} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (S_{\rm L})}{{\rm Pr} (E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$