[[File:P_ID987__Mod_Z_2_1.png|right|frame|Die bei der Amplitudenmodulation beteiligten Signale]]
[[File:P_ID987__Mod_Z_2_1.png|right|frame|The signals involved in this AM]]
Die Grafik zeigt mit dem roten Kurvenverlauf einen Ausschnitt des Sendesignals $s(t) = q(t) · z(t)$ einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation (abgekürzt mit ZSB-AM) ohne Träger. Die Dauer des Zeitausschnitts beträgt $200$ μs.
The red curve on the graph shows a section of the transmitted signal $s(t) = q(t) · z(t)$ of a double-sideband amplitude modulation (abbreviated as DSB-AM) without carrier. The duration of the time interval is $\rm 200 \ µ s$.
Zusätzlich sind in der Grafik eingetragen:
Additionally plotted in the graph are:
*das Quellensignal (als blau–gestrichelte Kurve):
*the source signal (as a blue dashed curve):
Ab der Teilaufgabe (4) wird die „ZSB–AM mit Träger” betrachtet. Dann gilt mit $A_{\rm T} = 2$ V:
From subtask '''(4)''' onwards, the "DSB-AM with carrier" is considered. In that case, with $A_{\rm T} = 2\text{ V}$:
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Beschreibung im Zeitbereich]] und [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Träger]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
'
===Fragebogen===
Hints:
*This exercise belongs to the chapter [[Modulation_Methods/Double-Sideband_Amplitude_Modulation|Double-Sideband Amplitude Modulation]].
*Particlar reference is made to the pages [[Modulation_Methods/Double-Sideband_Amplitude_Modulation#Description_in_the_time_domain|Description in the time domain]] and [[Modulation_Methods/Double-Sideband_Amplitude_Modulation#Double-Sideband_Amplitude_Modulation_with_carrier|Double-Sideband Amplitude Modulation with carrier]].
===Questions===
<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Ermitteln Sie aus der Grafik die Phasenwerte von Quellen– und Trägersignal.
{From the graph, determine the phase values of the message and carrier signals.
|type="{}"}
|type="{}"}
$\phi_{\rm N} \ = \ $ { 0. } $\ \text{Grad}$
$\phi_{\rm N} \ = \ $ { 0. } $\ \text{degrees}$
$\phi_{\rm T} \ = \ $ { 0. } $\ \text{Grad}$
$\phi_{\rm T} \ = \ $ { 0. } $\ \text{degrees}$
{Welche Frequenz $f_{\rm N}$ besitzt das Nachrichtensignal $q(t)$ und welche Frequenz $f_{\rm T}$ das Trägersignal $z(t)$?
{What is the frequency $f_{\rm N}$ of the message signal $q(t)$ and what is the frequency $f_{\rm T}$ of the carrier signal $z(t)$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$f_{\rm N} \ = \ $ { 5 3% } $\ \text{kHz}$
$f_{\rm N} \ = \ $ { 5 3% } $\ \text{kHz}$
$f_{\rm T} \ = \ $ { 50 3% } $\ \text{kHz}$
$f_{\rm T} \ = \ $ { 50 3% } $\ \text{kHz}$
{Analysieren Sie die Nulldurchgänge von $s(t)$. Welche Aussagen treffen zu?
{Analyze the zero crossings of $s(t)$. Which statements are true?
|type="[]"}
|type="[]"}
+ Alle Nulldurchgänge von $z(t)$ bleiben in $s(t)$ erhalten.
+ All zero crossings of $z(t)$ are preserved in $s(t)$.
+ Es gibt weitere Nullstellen, verursacht durch $q(t)$.
+ There are additional zero crossings caused by $q(t)$.
- Es gilt $s(t) = a(t) · \cos(ω_T · t)$ mit $a(t) = |q(t)|$.
{Bestimmen Sie die Spektralfunktion $S(f)$ über die Faltung. Welche (positiven) Frequenzen $f_1$ und $f_2 > f_1$ sind im Signal enthalten?
{Determine the spectral function $S(f)$ by convolution. Which (positive) frequencies $f_1$ and $f_2 > f_1$ are included in the signal??
|type="{}"}
|type="{}"}
$f_1 \ = \ $ { 45 3% } $\ \text{kHz}$
$f_1 \ = \ $ { 45 3% } $\ \text{kHz}$
$f_2\ = \ $ { 55 3% } $\ \text{kHz}$
$f_2\ = \ $ { 55 3% } $\ \text{kHz}$
{Es gelte nun $A_{\rm T} = 2$ V. Wie groß ist der Modulationsgrad $m$?
{Let $A_{\rm T} = 2\text{ V}$. What is the modulation depth $m$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$m \ = \ $ { 0.5 3% }
$m \ = \ $ { 0.5 3% }
{Welche der Aussagen treffen bei der „ZSB–AM mit Träger” und $A_{\rm T} = 2$ V zu?
{Which of the statements are true for "DSB–AM with carrier" and $A_{\rm T} = 2\text{ V}$ ?
|type="[]"}
|type="[]"}
+ $S(f)$ beinhaltet nun auch Diracfunktionen bei $±f_{\rm T}$.
+ $S(f)$ now includes Dirac delta functions at $±f_{\rm T}$.
- Die Gewichte dieser Diraclinien sind jeweils $2$ V.
- The weights of these Dirac delta lines are each $2\text{ V}$.
+ $q(t)$ ist in der Hüllkurve von $s(t)$ zu erkennen.
+ $q(t)$ can be seen in the envelope of $s(t)$.
- Durch den zusätzlichen Trägeranteil bleibt die Leistung unverändert.
- Due to the additional carrier component, the power remains unchanged.
</quiz>
</quiz>
===Musterlösung===
===Solution===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Beide Signale sind cosinusförmig: $ϕ_N = 0$, $ϕ_T = 0$.
'''(2)''' From the graph, the period durations of $200$ μs and $20$ μs can be seen for $q(t)$ and $z(t)$, respectively.
'''(3)''' <u>Answers 1 and 2</u> are correct:
*The zero crossings of $z(t)$ at $±5$ μs, $±15$ μs, $±25$ μs, ... ... are also present in the signal $s(t)$ ⇒ Answer 1 is correct.
*Other zero intersects of $s(t)$ – cause by $q(t)$ – are present at $±50$ μs, $±150$ μs, $±250$ μs, .... ⇒ Answer 2 is also correct.
*In contrast, the third statement is not true. Instead, $ s(t) = a(t) \cdot \cos[\omega_{\rm T} t + \phi (t)] \hspace{0.05cm}.$
'''2.'''Aus der Grafik können für $q(t)$ und $z(t)$ die Periodendauern $200 μs$ bzw. $20 μs$ abgelesen werden. Daraus ergeben sich die Frequenzen zu $f_N = 5 kHz$ und $f_T = 50 kHz$.
*For $q(t) > 0$ the phase function is $ϕ(t) = 0$ and $s(t)$ coincides with $z(t)$.
*At the zero crossings of $q(t)$, the modulated signal $s(t)$ exhibits phase jumps.
'''3.''' Die Nullstellen von $z(t)$ bei $±5 μs$, $±15 μs$, $±25 μs$, usw. sind auch im Signal $s(t)$ vorhanden. Weitere Nullstellen von $s(t)$ - verursacht durch $q(t)$ – liegen bei $±50 μs$, $±150 μs$, $±250 μs$, usw.. Richtig sind somit die Aussagen 1 und 2. Die dritte Aussage trifft dagegen nicht zu, sondern es gilt:
Für $q(t) > 0$ ist die Phasenfunktion $ϕ(t) = 0$ und $s(t)$ ist gleichlaufend mit $z(t)$. Dagegen gilt für $q(t) < 0$: $ϕ(t) = π = 180°$. Bei den Nulldurchgängen von $q(t)$ weist das modulierte Signal $s(t)$ Phasensprünge auf.
'''(4)''' The spectrum $S(f)$ results from the convolution of the spectral functions $Z(f)$ and $Q(f)$, each consisting of only two Dirac delta functions. The graph displays the result.
*The Dirac delta functions plotted in red apply only to the "DSB-AM with carrier" and refer to subtask ('''6)'''.
*Convolution of the two $Z(f)$ Dirac delta functions at $f_{\rm T} = 50\text{ kHz}$ with $Q(f)$ leads to the Dirac delta lines at $f_{\rm T} - f_{\rm N}$ and $f_{\rm T} + f_{\rm N}$, each with weight $0.5 · 0.5\text{ V}= 0.25\text{ V}$.
*The Dirac function $0.5 · δ(f + f_{\rm T})$ with two markers leads to two more Dirac delta lines at $-f_1$ and $-f_2$.
'''4.'''Das Spektrum $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung der Spektralfunktionen $Z(f)$ und $Q(f)$, die jeweils aus nur zwei Diracfunktionen bestehen. Die Grafik zeigt das Ergebnis.
[[File:P_ID988__Mod_Z_2_1_d.png|right|]]
Die rot eingezeichneten Diracfunktionen gelten nur für die „ZSB–AM mit Träger” und beziehen sich auf die Teilaufgabe f). Die Faltung der beiden $Z(f)$–Diracfunktionen bei $f_T = 50 kHz$ mit $Q(f)$ führt zu den Diraclinien bei $f_T – f_N$ und $f_T + f_N$, jeweils mit Gewicht 0.5 · 0.5 V = 0.25 V.
Die gesuchten Werte sind somit $f_1 = 45 kHz$ und $f_2 = 55 kHz$. Die mit zwei Markierungsstrichen versehene Diracfunktion $0.5 · δ(f + f_T)$ führt zu zwei weiteren Diraclinien bei $–f_1$ und $–f_2$.
'''(5)''' The modulation depth is calculated as:
'''6.'''Gemäß der Skizze bei d) ergeben sich Diraclinien bei $±f_T$, beide mit dem Impulsgewicht $A_T/2 = 1 V$. Bei m ≤ 1 ist $q(t)$ in der Hüllkurve erkennbar und Hüllkurvendemodulation anwendbar. Allerdings muss diese einfachere Empfängervariante durch eine sehr viel größere Sendeleistung erkauft werden. In diesem Beispiel (m = 0.5) wird die Sendeleistung durch den Trägerzusatz verneunfacht. Richtig sind demzufolge die Lösungsvorschläge 1 und 3.
'''(6)''' <u>Answers 1 and 3</u> are correct:
*According to the sketch, Dirac delta lines result at $±f_{\rm T}$, both with impulse weight $A_{\rm T}/2 = 1\text{ V}$.
*At $m ≤ 1$, $q(t)$ is detectable in the envelope ⇒ envelope demodulation is applicable.
*However, this simpler receiver variant must be accounted for with a much larger transmission power.
*In this example $(m = 0.5)$ the addition of a carrier multiplies the transmission power by nine.
{{ML-Fuß}}
{{ML-Fuß}}
Line 89:
Line 108:
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^2.1 ZSB-Amplitudenmodulation^]]
The red curve on the graph shows a section of the transmitted signal $s(t) = q(t) · z(t)$ of a double-sideband amplitude modulation (abbreviated as DSB-AM) without carrier. The duration of the time interval is $\rm 200 \ µ s$.
(1) Both signals are cosine ⇒ $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$ and $ϕ_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$.
(2) From the graph, the period durations of $200$ μs and $20$ μs can be seen for $q(t)$ and $z(t)$, respectively.
This gives the frequencies as $f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline { = 5}$ kHz and $f_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline { = 50}$ kHz.
(3)Answers 1 and 2 are correct:
The zero crossings of $z(t)$ at $±5$ μs, $±15$ μs, $±25$ μs, ... ... are also present in the signal $s(t)$ ⇒ Answer 1 is correct.
Other zero intersects of $s(t)$ – cause by $q(t)$ – are present at $±50$ μs, $±150$ μs, $±250$ μs, .... ⇒ Answer 2 is also correct.
In contrast, the third statement is not true. Instead, $ s(t) = a(t) \cdot \cos[\omega_{\rm T} t + \phi (t)] \hspace{0.05cm}.$
DSB–AM spectra $Z(f)$, $Q(f)$ and $S(f)$
For $q(t) > 0$ the phase function is $ϕ(t) = 0$ and $s(t)$ coincides with $z(t)$.
In contrast, for $q(t) < 0$: $ϕ(t) = π = 180^\circ$.
At the zero crossings of $q(t)$, the modulated signal $s(t)$ exhibits phase jumps.
(4) The spectrum $S(f)$ results from the convolution of the spectral functions $Z(f)$ and $Q(f)$, each consisting of only two Dirac delta functions. The graph displays the result.
The Dirac delta functions plotted in red apply only to the "DSB-AM with carrier" and refer to subtask (6).
Convolution of the two $Z(f)$ Dirac delta functions at $f_{\rm T} = 50\text{ kHz}$ with $Q(f)$ leads to the Dirac delta lines at $f_{\rm T} - f_{\rm N}$ and $f_{\rm T} + f_{\rm N}$, each with weight $0.5 · 0.5\text{ V}= 0.25\text{ V}$.
Thus, the desired values are $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 45 \ \rm kHz}$ and $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 55 \ \rm kHz}$.
The Dirac function $0.5 · δ(f + f_{\rm T})$ with two markers leads to two more Dirac delta lines at $-f_1$ and $-f_2$.
