Difference between revisions of "Applets:Periodendauer periodischer Signale"

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{{LntExplicitLoadMathjax}}
+
Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
  
<html>
+
{{LntAppletLink|signalPeriod_en|Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen}} &nbsp; &nbsp; {{LntAppletLink|signalPeriodS_en|Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen}}
<head>
 
  <script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/0.99.6/jsxgraphcore.js"></script>
 
  <script type="text/javascript" src="https://cdn.rawgit.com/mathjax/MathJax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script>
 
  <style>
 
  .button1{
 
    background-color: black;
 
    border: none;
 
    color: white;
 
    font-family: arial;
 
    padding: 8px 20px;
 
    text-align: center;
 
    text-decoration: none;
 
    display: inline-block;
 
    font-size: 16px;
 
    border-radius: 15px;
 
    position:relative;
 
    top: 205px;
 
    left: 530px;
 
  }
 
  
  .button1:active {
+
==Programmbeschreibung==
    background-color: #939393;}
+
<br>
 +
Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion
 +
:$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$
  
    .formel {
+
Bitte beachten Sie:  
        background-color: #f5f5f5;
+
*Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert: &nbsp; $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
        border-radius: 4px ;
+
*Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
        padding: 20px 30px;
+
*Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.
        font-family: arial;
 
        position:absolute;
 
        top: 250px;
 
        left: 10px;
 
    }
 
  
  </style>
 
</head>
 
<body>
 
  
<form id="myForm">
+
Die englische Beschreibung finden Sie unter [[Period Duration of Periodic Signals]] (derzeit noch nicht realisiert) .
  
<!-- Resetbutton, Checkbox und Formel -->
+
==Theoretischer Hintergrund==
<button class="button1" style="font-size:0.750em" onclick="zurueck()">Reset</button>
+
<br>
<p><span class="separate" style="position:absolute; top:180px; left:550px; font-family:arial; font-size:0.750em;">mit Gitter<input name="gridbox" id="gridbox" type="checkbox" onclick="showgrid();" checked="checked"></span></p>
+
*Ein ''periodisches Signal'' $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt: &nbsp; $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die '''Periodendauer''' und  $f_0 = 1/T_0$ als die '''Grundfrequenz'''.
<box class="formel">\(x(t)=A_1\cdot cos\Big(2\pi f_1\cdot t- \frac{2\pi}{360}\cdot \phi_1\Big)+A_2\cdot cos\Big(2\pi f_2\cdot t- \frac{2\pi}{360}\cdot \phi_2\Big)\)</box>
 
  
<div id="box1" class="jxgbox" style="width:600px; height:600px; border:1px solid black; margin:300px 20px 100px 0px;"></div>
+
*Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.
<div id="box2" class="jxgbox" style="width:500px; height:200px; border:1px solid white; margin:-1000px 20px 100px 0px;"></div>
 
<div id="box3" class="jxgbox" style="width:600px; height:100px; border:1px solid white; margin:700px 20px 100px 0px;"></div>
 
  
<script type="text/javascript">
 
  
//Grundeinstellungen der beiden Applets
+
{{BlaueBox|TEXT= 
JXG.Options.text.useMathJax = true;
+
$\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp; Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und  $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:
var brd1 = JXG.JSXGraph.initBoard('box1', {showCopyright:false, axis:false, zoom:{factorX:1.1, factorY:1.1, wheel:true, needshift:true, eps: 0.1}, grid:false, boundingbox: [-0.5, 2.2, 12.4, -2.2]});
 
var brd2 = JXG.JSXGraph.initBoard('box2', {showCopyright:false, showNavigation:false, axis:false, grid:false, zoom:{enabled:false}, pan:{enabled:false}, boundingbox: [-1, 2.2, 12.4, -2.2]});
 
var brd3 = JXG.JSXGraph.initBoard('box3', {showCopyright:false, showNavigation:false, axis:false, grid:false, zoom:{enabled:false}, pan:{enabled:false}, boundingbox: [-1, 2.2, 12.4, -2.2]});
 
brd2.addChild(brd1);
 
brd2.addChild(brd3);
 
  
//Einstellungen der Achsen
+
:$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$
xaxis = brd1.create('axis', [[0, 0], [1,0]], {name:'\\[t/T\\]', withLabel:true, label:{position:'rt', offset:[-25, 15]}});
+
wobei "ggT" den ''größten gemeinsamen Teiler'' bezeichnet.}}
yaxis = brd1.create('axis', [[0, 0], [0, 1]], {name:'\\[x(t)\\]', withLabel:true, label:{position:'rt', offset:[10, -5]}});
 
  
//Festlegen der Schieberegler
 
a = brd2.create('slider',[[-0.7,1.5],[3,1.5],[0,0.5,1]], {withLabel:false, withTicks:false, snapWidth:0.01}),
 
b = brd2.create('slider',[[-0.7,0.5],[3,0.5],[0,1,10]], {withLabel:false, withTicks:false, snapWidth:0.1}),
 
c = brd2.create('slider',[[-0.7,-0.5],[3,-0.5],[-180,0,180]], {withLabel:false, withTicks:false, snapWidth:5}),
 
d = brd2.create('slider',[[6,1.5],[9.7,1.5],[0,0.5,1]], {withLabel:false, withTicks:false, snapWidth:0.01}),
 
e = brd2.create('slider',[[6,0.5],[9.7,0.5],[0,2,10]], {withLabel:false, withTicks:false, snapWidth:0.1}),
 
g = brd2.create('slider',[[6,-0.5],[9.7,-0.5],[-180,90,180]], {withLabel:false, withTicks:false, snapWidth:5}),
 
t = brd2.create('slider',[[-0.7,-1.5],[3,-1.5],[0,0,10]], {withLabel:false, withTicks:false, snapWidth:0.2}),
 
  
 +
{{GraueBox|TEXT= 
 +
$\text{Beispiele:}$ &nbsp; Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen:
  
//Definition der Ausgabefelder
+
'''(a)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 = 1.0\ \rm ms$;
texta=brd2.create('text',[3.2,1.7, function()
 
  { return '\\[A_1= '+ Math.round(a.Value()*100)/100 +' \\text{ V}\\]';}], {fixed:true, visible:true});
 
textb=brd2.create('text',[3.2,0.7, function()
 
  { return '\\[f_1= '+ Math.round(b.Value()*100)/100 +' \\text{ kHz}\\]';}], {fixed:true, visible:true});
 
textc=brd2.create('text',[3.2,-0.3, function()
 
  { return '\\[\\phi_1= '+ Math.round(c.Value()*100)/100 +' \\text{ Grad}\\]';}], {fixed:true, visible:true});
 
textd=brd2.create('text',[9.9,1.57, function()
 
  { return '\\[A_2= '+ Math.round(d.Value()*100)/100 +' \\text{ V}\\]';}], {fixed:true, visible:true});
 
texte=brd2.create('text',[9.9,0.57, function()
 
  { return '\\[f_2= '+ Math.round(e.Value()*100)/100 +' \\text{ kHz}\\]';}], {fixed:true, visible:true});
 
textg=brd2.create('text',[9.9,-0.43, function()
 
  { return '\\[\\phi_2= '+ Math.round(g.Value()*100)/100 +' \\text{ Grad}\\]';}], {fixed:true, visible:true});
 
textt=brd2.create('text',[3.2,-1.3, function()
 
  { return '\\[t= '+ Math.round(t.Value()*100)/100 +' \\]';}], {fixed:true, visible:true, fontSize:12});
 
  
textergebnis1=brd3.create('text',[-0.5,1.5, function()
+
'''(b)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 = 2.0\ \rm ms$;
  { return '\\[x(t)= '+ Math.round((a.Value()*Math.cos(2*Math.PI*b.Value()*t.Value()-2*Math.PI*c.Value()/360)+d.Value()*Math.cos(2*Math.PI*e.Value()*t.Value()-2*Math.PI*g.Value()/360))*1000)/1000 +' \\]';}], {fixed:true, visible:true});
 
textergebnis2=brd3.create('text',[1.6,1.5, function()
 
  { return '\\[x(t+T_0)= '+ Math.round((a.Value()*Math.cos(2*Math.PI*b.Value()*(t.Value()+Math.round(getT0() *1000)/1000)-c.Value())+d.Value()*Math.cos(2*Math.PI*e.Value()*(t.Value()+Math.round(getT0() *1000)/1000)-g.Value()))*1000)/1000 +' \\]';}], {fixed:true, visible:true});
 
textergebnis3=brd3.create('text',[4.5,1.5, function()
 
  { return '\\[x(t+2T_0)= '+ Math.round((a.Value()*Math.cos(2*Math.PI*b.Value()*(t.Value()+2*Math.round(getT0() *1000)/1000)-c.Value())+d.Value()*Math.cos(2*Math.PI*e.Value()*(t.Value()+2*Math.round(getT0() *1000)/1000)-g.Value()))*1000)/1000 +' \\]';}], {fixed:true, visible:true});
 
textergebnis4=brd3.create('text',[7.75,1.5, function()
 
{var x = new Array(50000);
 
for (var i = 0; i < 50001; i++) {x[i] = Math.round((a.Value()*Math.cos(2*Math.PI*b.Value()*(i/1000)-2*Math.PI*c.Value()/360)+d.Value()*Math.cos(2*Math.PI*e.Value()*(i/1000)-2*Math.PI*g.Value()/360)) *1000)/1000;};
 
return '\\[x_{max}= '+ Math.max.apply(Math,x)+' \\]';}], {fixed:true, visible:true});
 
textergebnis5=brd3.create('text',[10.5,1.5, function()
 
  { return '\\[T_0= '+ Math.round(getT0() *100)/100 +' \\]';}], {fixed:true, visible:true, strokeColor:'blue'});
 
  
 +
'''(c)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  2.0\ \rm ms$;
  
//Definition der Funktion
+
'''(d)''' &nbsp; $f_1' = 0.9$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  10.0 \ \rm ms$;
signaldarstellung = brd1.create('functiongraph',[function(x){
 
        return (a.Value()*Math.cos(2*Math.PI*b.Value()*x-2*Math.PI*c.Value()/360)+d.Value()*Math.cos(2*Math.PI*e.Value()*x-2*Math.PI*g.Value()/360))
 
    }], {strokeColor: "red"});
 
  
//Definition des Punktes p_T0, des Hilfspunktes p_T0h und der Geraden l_T0 für Periodendauer T_0
+
'''(e)''' &nbsp; $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 \to \infty$&nbsp; &rArr; &nbsp; Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.}}
p_T0=brd1.create('point', [function(){ return Math.round(getT0() *100)/100;},
 
      function(){ return a.Value()*Math.cos(2*Math.PI*b.Value()*(Math.round(getT0() *100)/100)-2*Math.PI*c.Value()/360)
 
        +d.Value()*Math.cos(2*Math.PI*e.Value()*(Math.round(getT0() *100)/100)-2*Math.PI*g.Value()/360);}], {color:"blue", fixed:true, label:false, size:1, name:''})
 
p_T0h = brd1.create('point', [function(){ return Math.round(getT0() *100)/100;}, 2], {visible: false, color:"blue", fixed:true, label:false, size:1, name:''})
 
l_T0 = brd1.create('line', [p_T0, p_T0h])
 
  
//Bestimmung des Wertes T_0 mit der Funktion von Siebenwirth
 
    function getT0() {
 
  
        var A, B, C, Q;
+
$\text{Anmerkung:}$&nbsp; Die Periodendauer könnte auch als ''kleinstes gemeinsame Vielfache'' (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:
        if (b.Value() < e.Value()) {
 
            A = b.Value();
 
            B = e.Value();
 
        } else {
 
            B = b.Value();
 
            A = e.Value();
 
        }
 
  
        console.log('Berechne T0 mit A=' + A, 'B=' + B);
+
'''(c)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$, &nbsp; $T_2 = 0.4\ \rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms =  2.0\ \rm ms$
  
        for (var x = 1; x <= 100; x++) {
+
Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel
            C = A / x;
 
            Q = B / C;
 
            console.log(x + '. Durchgang: C = ' + C, 'Q = ' + Q);
 
            if (isInt(Q)) {
 
                console.log('Q ist eine Qanzzahl!!! T0 ist damit ', 1 / C);
 
                return 1 / C;
 
            }
 
            if (x === 10) {
 
                return 10;
 
            }
 
            if ((1/C) > 10)
 
                return 10
 
        }
 
    }
 
  
    function isInt(n) {
+
'''(a)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.
        return n % 1 === 0;
 
    }
 
  
 +
==Vorschlag für die Versuchsdurchführung==
 +
<br>
 +
Im Folgenden bezeichnen $A_1'$ und $A_2'$ die auf $1\ \rm V$ normierten  Signalamplituden und $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierte Frequenzen:
 +
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(1)''' &nbsp; nach Voreinstellung: &nbsp; &nbsp; $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ A_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{:}$}}
  
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(2.0, 2.5) = 0.5$.
  
//Definition der Funktion zum An- und Ausschalten des Koordinatengitters
+
{{BlaueBox|TEXT= 
function showgrid() {
+
'''(2)''' &nbsp; Variieren Sie bei der bestehenden Einstellung $\varphi_1$ und $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{:}$}}
    if (gridbox.checked) {
 
      xaxis = brd1.create('axis', [[0, 0], [1,0]], {});
 
      yaxis = brd1.create('axis', [[0, 0], [0, 1]], {});
 
    } else {
 
    xaxis.removeTicks(xaxis.defaultTicks);
 
    yaxis.removeTicks(yaxis.defaultTicks);
 
    }
 
    brd1.fullUpdate();
 
};
 
</script>
 
</form>
 
  
<script>
+
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten.
  
//Definition des Reset-Buttons
+
{{BlaueBox|TEXT= 
function zurueck() {
+
'''(3)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; "Recall Parameters" und variieren Sie $A_1'$ im gesamten möglichen Bereich $0 \le A_1' \le 1\text{:}$}}
    document.getElementById("myForm").reset();
 
};
 
</script>
 
  
</body>
+
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten mit Ausnahme von $A_1' =0$. In diesem Fall ist $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.
</html>
 
  
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(4)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; "Recall Parameters" und ändern Sie $f_2' = 0.2\text{:}$}}
  
{{Display}}
+
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(5)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; "Recall  Parameters" und ändern Sie $f_1' = 0.2$. Speichern Sie diese Einstellung mit "Store  Parameters":}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 10.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(6)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; "Recall Parameters" und ändern Sie $f_2' = 0.6$. Speichern Sie diese Einstellung mit "Store Parameters":}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(7)''' &nbsp; Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert $x_{\rm max}\text{?}$}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.39 \ \rm V$ mit $t_* = 0.3 \ \rm ms$ und $T_0 = 5.0 \ \rm ms$
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(8)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; "Recall  Parameters" und ändern Sie $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen:}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max}  =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ \rm V$, also gleich $A_1 + A_2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $t_* = 0$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(9)''' &nbsp; Wählen Sie die vorletzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; "Recall  Parameters" und ändern Sie $\varphi_1 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.08 \ \rm V$, also ungleich $A_1 + A_2$&nbsp; &rArr; &nbsp; $t_* = 0.6 \ \rm ms$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
==Zur Handhabung der Applet-Variante 1==
 +
[[File:Periodendauer_fertig_version1.png|left]]
 +
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Variationsmöglichkeit für die  graphische Darstellung
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$
 +
 
 +
'''Details zum obigen Punkt (C)'''
 +
 +
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Zoom&ndash;Funktionen "$+$" (Vergrößern), "$-$" (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Verschieben mit "$\leftarrow$" (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts),  "$\uparrow$" "$\downarrow$" und "$\rightarrow$"
 +
 
 +
'''Andere Möglichkeiten''':
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und Scrollen:  Zoomen im Koordinatensystem,
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
 +
<br clear = all>
 +
 
 +
==Zur Handhabung der Applet-Variante 2==
 +
[[File:Periodendauer_SB_version2.png|left]]
 +
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung
 +
 
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&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Größe der  graphischen Darstellung
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&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Speichern/Zurückholen von Eingaben
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&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; in Grafik: &nbsp; &nbsp; blaue Linien im Abstand $T_0$
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&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe $t_\star$, &nbsp; Ausgabe von $x(t_*)$ und $x_{\rm max}$
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<br clear = all>
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==Über die Autoren==
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Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
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*Die erste Version wurde 2004 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).
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*2017 wurde dieses Programm  von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet &nbsp; &rArr; &nbsp; Applet-Variante 1.
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*Parallel dazu erarbeitete [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bastian_Siebenwirth_.28Bachelorarbeit_LB_2017.29|Bastian Siebenwirth]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]])  die HTML5-Variante 2.
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==Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster==
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Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
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{{LntAppletLink|signalPeriod_en|Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen}} &nbsp; &nbsp; {{LntAppletLink|signalPeriodS_en|Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen}}

Latest revision as of 15:49, 28 May 2021

Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:

Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen     Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen

Programmbeschreibung


Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion

$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Bitte beachten Sie:

  • Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert:   $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
  • Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
  • Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.


Die englische Beschreibung finden Sie unter Period Duration of Periodic Signals (derzeit noch nicht realisiert) .

Theoretischer Hintergrund


  • Ein periodisches Signal $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt:   $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die Periodendauer und $f_0 = 1/T_0$ als die Grundfrequenz.
  • Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.


$\text{Berechnungsvorschrift:}$  Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:

$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$

wobei "ggT" den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet.


$\text{Beispiele:}$   Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen:

(a)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.0$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$   ⇒   $T_0 = 1.0\ \rm ms$;

(b)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(c)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(d)   $f_1' = 0.9$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$   ⇒   $T_0 = 10.0 \ \rm ms$;

(e)   $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$   ⇒   $T_0 \to \infty$  ⇒   Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.


$\text{Anmerkung:}$  Die Periodendauer könnte auch als kleinstes gemeinsame Vielfache (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:

(c)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$,   $T_2 = 0.4\ \rm kHz$   ⇒   $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms = 2.0\ \rm ms$

Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel

(a)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Vorschlag für die Versuchsdurchführung


Im Folgenden bezeichnen $A_1'$ und $A_2'$ die auf $1\ \rm V$ normierten Signalamplituden und $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierte Frequenzen:

(1)   nach Voreinstellung:     $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ A_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 2.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(2.0, 2.5) = 0.5$.

(2)   Variieren Sie bei der bestehenden Einstellung $\varphi_1$ und $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten.

(3)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   "Recall Parameters" und variieren Sie $A_1'$ im gesamten möglichen Bereich $0 \le A_1' \le 1\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten mit Ausnahme von $A_1' =0$. In diesem Fall ist $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.

(4)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   "Recall Parameters" und ändern Sie $f_2' = 0.2\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.

(5)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   "Recall Parameters" und ändern Sie $f_1' = 0.2$. Speichern Sie diese Einstellung mit "Store Parameters":

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 10.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.

(6)   Wählen Sie die letzte Einstellung   ⇒   "Recall Parameters" und ändern Sie $f_2' = 0.6$. Speichern Sie diese Einstellung mit "Store Parameters":

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.

(7)   Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert $x_{\rm max}\text{?}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.39 \ \rm V$ mit $t_* = 0.3 \ \rm ms$ und $T_0 = 5.0 \ \rm ms$

(8)   Wählen Sie die letzte Einstellung   ⇒   "Recall Parameters" und ändern Sie $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ \rm V$, also gleich $A_1 + A_2$   ⇒   $t_* = 0$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.

(9)   Wählen Sie die vorletzte Einstellung   ⇒   "Recall Parameters" und ändern Sie $\varphi_1 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.08 \ \rm V$, also ungleich $A_1 + A_2$  ⇒   $t_* = 0.6 \ \rm ms$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.


Zur Handhabung der Applet-Variante 1

Periodendauer fertig version1.png

    (A)     Parametereingabe per Slider

    (B)     Bereich der graphischen Darstellung

    (C)     Variationsmöglichkeit für die graphische Darstellung

    (D)     Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

    (E)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie

    (F)     Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

    (G)     Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte

    (H)     Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

Details zum obigen Punkt (C)

    (*)   Zoom–Funktionen "$+$" (Vergrößern), "$-$" (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

    (*)   Verschieben mit "$\leftarrow$" (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), "$\uparrow$" "$\downarrow$" und "$\rightarrow$"

Andere Möglichkeiten:

    (*)   Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,

    (*)   Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Zur Handhabung der Applet-Variante 2

Periodendauer SB version2.png

    (A)     Parametereingabe

    (B)     Bereich der graphischen Darstellung

    (C)     Größe der graphischen Darstellung

    (D)     Speichern/Zurückholen von Eingaben

    (E)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$;
                      in Grafik:     blaue Linien im Abstand $T_0$

    (F)     Eingabe $t_\star$,   Ausgabe von $x(t_*)$ und $x_{\rm max}$

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

  • Die erste Version wurde 2004 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: Günter Söder ).
  • 2017 wurde dieses Programm von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet   ⇒   Applet-Variante 1.
  • Parallel dazu erarbeitete Bastian Siebenwirth im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Günter Söder) die HTML5-Variante 2.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster

Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:

Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen     Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen