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Latest revision as of 15:02, 27 September 2017

Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion

Theoretischer Hintergrund

Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch die Fouriertransformation (FT) $$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot e^{-j2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ und deren Inversen (IFT) $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot e^{j2\pi f t} \hspace{0.15cm} {\rm d}f$$ gegeben.
In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:

$$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ und $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$

$x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in V, $X(f)$ in V/Hz.
Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ das Spektrum $X(f)$ muss noch mit $T$ multipliziert werden.
Der Zusammenhang zwischen Impulse und deren Spektren und der ähnlich aufgebauten Animation „Tiefpass“ basiert auf dem Vertauschungssatz.

Gaußimpuls

Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t)=K\cdot e^{-\pi\cdot(t/\Delta t)^2}.$$

Die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
Der Wert bei t=$\Delta t/2$ ist um den Faktor 0.456 kleiner als der Wert bei $t=0$.
Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot e^{-\pi(f\cdot \Delta t)^2} .$$

Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum (Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer).
Sowohl $x(t)$ als auch $X(f)$ sind zu keinem $ f$- bzw. $t$-Wert exakt gleich Null.
Praktisch ist der Gaußimpuls in Zeit und Frequenz begrenzt. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta \cdot t$ auf $1\% $ des Maximums abgefallen.

Rechteckimpuls

Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.} \\ \end{array}$$

Der $\pm \Delta t/2$ - Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$

Der Spektralwert bei $f=0$ ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t$.
Das Integral über der Spektralfunktion $X(f)$ ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt $t=0$, also der Impulsamplitude $K$.

Dreieckimpuls

Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \Big(1-\frac{|t|}{\Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

Die absolute Zeitdauer ist $2 \cdot \Delta t$, d.h. doppelt so groß als die des Rechtecks.
Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot si^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$

Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite $\Delta t \Rightarrow X(f)$ beinhaltet anstelle der $si$-Funktion die $si^2$-Funktion.
$X(f)$ weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen $1/\Delta f$ auf.
Der asymptotische Abfall von $X(f)$ erfolgt hier mit $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit $1/f$ abfällt.

Trapezimpuls

Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$

Sonderfall $r=0$: Rechteckimpuls. Sonderfall $r=1$: Dreieckimpuls.
Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot si(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$

Der asymptotische Abfall von $X(f)$ liegt zwischen $1/f$ (für Rechteck, $r=0$) und $1/f^2$ (für Dreieck, $r=1$).

Cosinus-Rolloff-Impuls

Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot \frac{\pi}{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$

Sonderfall $r=0$: Rechteckimpuls. Sonderfall $r=1$: Cosinus$^2$-Impuls.
Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$

Je größer der Rolloff-Faktor $r$ ist, desto schneller nimmt $X(f)$ asymptotisch mit $f$ ab.

Cosinus-Quadrat-Impuls

Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impuls und ergibt sich für $r=1 \ (t_1=0, t_2= \Delta t)$:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\cdot \pi}{2\cdot \Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot [si(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+si(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))]\cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$

Wegen der letzten $si$-Funktion ist $X(f)=0$ für alle Vielfachen von $F=1/\Delta t$. Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
Aufgrund des Klammerausdrucks weist $X(f)$ nun weitere Nulldurchgänge bei $f=\pm1.5 F$, $\pm2.5 F$, $\pm3.5 F$, ... auf.
Für die Frequenz $f=\pm F/2$ erhält man die Spektralwerte $K\cdot \Delta t/2$.
Der asymptotische Abfall von $X(f)$ verläuft in diesem Sonderfall mit $1/f^3$.

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-{{FirstPage}}
+==Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion==
-{{Header|
-Untermenü=Grundbegriffe der Nachrichtentechnik
-|Vorherige Seite=Signaldarstellung
-|Nächste Seite=Klassifizierung von Signalen
-}}
-==Nachricht - Information - Signal==
+{{LntAppletLink|spektrum}}
-Man unterscheidet grundsätzlich zwischen den Begriffen &bdquo;Nachricht&rdquo; und &bdquo;Information&rdquo;, die heutzutage allerdings oft synonym verwendet werden.
-{{Beispiel}}
+==Theoretischer Hintergrund==
-Eine Email von Herrn Maier an Frau Müller ist stets eine Nachricht. Für Frau Müller bedeutet der Erhalt dieser Email allerdings nur dann einen Informationsgewinn, wenn sie dadurch etwas Neues erfährt. Die durch eine Nachricht übermittelte Information hängt also in starkem Maße vom Kenntnisstand des Empfängers ab. In der Praxis ist die in einer Nachricht enthaltene Information eher gering, insbesondere im Anwendungsbereich der Telefonie.
+*Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch die Fouriertransformation (FT) $$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot e^{-j2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ und deren Inversen (IFT) $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot e^{j2\pi f t} \hspace{0.15cm} {\rm d}f$$ gegeben.
-{{end}}
+*In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:
+$$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t$$  und
+$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$
+*$x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in V, $X(f)$ in V/Hz.
+*Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ das Spektrum $X(f)$ muss noch mit $T$ multipliziert werden.
+*Der Zusammenhang zwischen Impulse und deren Spektren und der ähnlich aufgebauten Animation &bdquo;Tiefpass&ldquo; basiert auf dem Vertauschungssatz.
+==Gaußimpuls==
+*Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:
+$$x(t)=K\cdot e^{-\pi\cdot(t/\Delta t)^2}.$$
+*Die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
+*Der Wert bei t=$\Delta t/2$ ist um den Faktor 0.456 kleiner als der Wert bei $t=0$.
+*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
+$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot e^{-\pi(f\cdot \Delta t)^2} .$$
+*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum (Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer).
+*Sowohl $x(t)$ als auch $X(f)$ sind zu keinem $ f$- bzw. $t$-Wert exakt gleich Null.
+*Praktisch ist der Gaußimpuls in Zeit und Frequenz begrenzt. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta \cdot t$ auf $1\% $ des Maximums abgefallen.
+==Rechteckimpuls==
+*Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:
-Für die Übertragung und die Speicherung einer Nachricht ist stets ein energetischer bzw. materieller Träger erforderlich, der Signal genannt wird. Physikalisch erfolgt die Darstellung einer Nachricht also durch Signale, die von ganz unterschiedlicher Natur sein können. Mögliche Erscheinungsformen sind:
+$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}   {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,}  \\   {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,}  \\   {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.}  \\ \end{array}$$
-*elektrische Signale (z. B. Strom- und Spannungsverlauf),
-*elektromagnetische Wellen (z. B. bei der Funkübertragung),
-*Verlauf von Druck, Temperatur oder anderer physikalischer Größen,
-*akustische Signale (z. B. Ausgangssignal eines Lautsprechers),
-*optische Signale (z. B. Ausgangssignal eines Lasers).
+*Der $\pm \Delta t/2$ - Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
+*Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):
+$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$
+*Der Spektralwert bei $f=0$ ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
+*Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t$.
+*Das Integral über der Spektralfunktion $X(f)$ ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt $t=0$, also der Impulsamplitude $K$.
-Die zur '''Nachrichtenübertragung''' verwendeten Signale sind in der Regel Zeitfunktionen. Das bedeutet, dass (zumindest) einer der Signalparameter abhängig vom Zeitparameter $t$ ist. Solche Signalparameter sind beispielsweise bei einem Signalton die Amplitude („Lautstärke“) und die Frequenz („Tonhöhe“).
+==Dreieckimpuls==
+*Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:
-In einem '''Nachrichtenspeicher''' werden die Zeitfunktionen oft auch auf räumliche Funktionen geeigneter physikalischer Größen wie Magnetisierung (Magnetband) oder Schwärzungsgrad (Film) abgebildet.
+$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \Big(1-\frac{|t|}{\Delta t}\Big)  \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\    {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}   {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,}  \\   {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.}   \\ \end{array}$$
-Die Menge aller Nachrichtensignale lassen sich nach verschiedenen Kriterien katalogisieren, die im Kapitel [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen|Klassifizierung von Signalen]] benannt werden.
+*Die absolute Zeitdauer ist $2 \cdot \Delta t$, d.h. doppelt so groß als die des Rechtecks.
+*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
+$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot si^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$
+*Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite $\Delta t \Rightarrow X(f)$ beinhaltet anstelle der $si$-Funktion die $si^2$-Funktion.
+*$X(f)$ weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen $1/\Delta f$ auf.
+*Der asymptotische Abfall von $X(f)$ erfolgt hier mit $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit $1/f$ abfällt.
+==Trapezimpuls==
+Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:
-==Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems==
+$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}   {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,}  \\   {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,}  \\   {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.}  \\ \end{array}$$
-In der folgenden Grafik ist ein '''Nachrichtenübertragungssystem''' schematisch dargestellt.
+*Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
+*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
+$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
+*Sonderfall $r=0$: Rechteckimpuls. Sonderfall $r=1$: Dreieckimpuls.
+*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
+$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot si(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$
+*Der asymptotische Abfall von $X(f)$ liegt zwischen $1/f$ (für Rechteck, $r=0$) und $1/f^2$ (für Dreieck, $r=1$).
-[[File:P_ID336_Sig_T_1_2.png | Allgemeines Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems]]
+==Cosinus-Rolloff-Impuls==
+Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:
-Die einzelnen Systemkomponenten haben folgende Aufgaben:
+$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot \frac{\pi}{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}   {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,}  \\   {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,}  \\   {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.}  \\ \end{array}$$
-*Die '''Nachrichtenquelle''' liefert das Quellensignal $q(t)$, das über den Nachrichtenkanal zur räumlich entfernten Sinke übertragen werden soll. Die Nachrichtenquelle kann zum Beispiel ein Computer, ein Radiosender oder ein Fernsprechteilnehmer sein.
-*Meist ist das Quellensignal $q(t)$ selbst für die Übertragung ungeeignet und muss erst in geeigneter Weise in das Signal $s(t)$ umgewandelt werden. Dieser Vorgang wird Modulation genannt und vom '''Sender''' bewerkstelligt. Deshalb wird $s(t)$ im Folgenden als das Sendesignal bezeichnet.
-*Bei der Übertragung über den '''Kanal''' wird dieses Signal $s(t)$ in seiner Form verändert; gleichzeitig addieren sich mehr oder weniger starke Stör- und Rauschsignale. Das Signal am Kanalausgang und gleichzeitig am Empfängereingang bezeichnen wir als das Empfangssignal $r(t)$.
-*Der '''Empfänger''' muss die beim Sender vorgenommene Wandlung wieder rückgängig machen. Wurde beispielsweise das niederfrequente Quellensignal $q(t)$ in das höherfrequente Sendesignal $s(t)$ umgesetzt, so muss der Empfänger auch einen Demodulator beinhalten.
-*Der letzte Block in obigem Modell ist die '''Nachrichtensinke'''. Das Sinkensignal $v(t)$ ist wie das zu übertragende Signal $q(t)$ wieder niederfrequent. Im Idealfall, der in der Praxis allerdings nie exakt erreicht werden kann, sollte für alle Zeiten $v(t) = q(t)$ gelten.
+*Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
+*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
+$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
+*Sonderfall $r=0$: Rechteckimpuls. Sonderfall $r=1$: Cosinus$^2$-Impuls.
+*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
+$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
+*Je größer der Rolloff-Faktor $r$ ist, desto schneller nimmt $X(f)$ asymptotisch mit $f$ ab.
-==Nachrichtenquelle==
+==Cosinus-Quadrat-Impuls==
+*Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impuls und ergibt sich für $r=1 \ (t_1=0, t_2= \Delta t)$:
-Als Beispiele für Nachrichtenquellen bzw. für das Quellensignal $q(t)$ können genannt werden:
+$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\cdot \pi}{2\cdot \Delta t}\Big)  \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\    {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}   {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,}  \\   {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.}   \\ \end{array}$$
-*Audiosignale, z. B. Sprache oder Musik,
-*Videosignale, z. B. ein analoges Fernsehsignal oder ein MPEG-codiertes Streaming-Video,
-*Datensignale, z. B. der Datenstrom einer USB-Schnittstelle oder eine Email im Internet,
-*Messsignale, z. B. zur Steuerung oder zur Regelung in einem Produktionsprozess.
+*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
+$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot [si(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+si(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))]\cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
+*Wegen der letzten $si$-Funktion ist $X(f)=0$ für alle Vielfachen von $F=1/\Delta t$. Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
+*Aufgrund des Klammerausdrucks weist $X(f)$ nun weitere Nulldurchgänge bei $f=\pm1.5 F$, $\pm2.5 F$, $\pm3.5 F$, ... auf.
+*Für die Frequenz $f=\pm F/2$ erhält man die Spektralwerte $K\cdot \Delta t/2$.
+*Der asymptotische Abfall von $X(f)$ verläuft in diesem Sonderfall mit $1/f^3$.
-{{Beispiel}}
-[[File:P_ID592_Sig_T_1_1_S3_rah.png|right|Frequenz-Zeitdarstellung eines Sprachsignals]]
+{{LntAppletLink|spektrum}}
-Nachfolgend sehen Sie die Frequenz–Zeitdarstellung eines Sprachsignals.
-*Man erkennt zu unterschiedlichen Zeiten die verschiedenen Frequenzanteile im kHz-Bereich.
-*Übrigens: Es handelt sich hierbei um einen männlichen Sprecher.
-Wir bedanken uns bei Markus Kaindl, LNT/TUM, für die Bereitstellung der Grafik.
-{{end}}
-Man unterscheidet zwischen analogen und digitalen Nachrichtenquellen. Die im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; dargelegten Beschreibungsformen gelten für Analogsignale und Digitalsignale gleichermaßen.
-Die grundlegenden Unterschiede zwischen analogen und digitalen Signale werden
-*im Kapitel [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen|Klassifizierung von Signalen]] behandelt, und
-*durch das Lernvideo [[Analoge und digitale Signale (Lernvideo)|Analoge und digitale Signale]] an Beispielen verdeutlicht.
-==Aufgaben des Senders==
-Wesentliche Aufgabe des Senders ist es, das Quellensignal $q(t)$ derart in ein Sendesignal $s(t)$ umzuformen, dass dieses unter Einhaltung vorgegebener Leistungsmerkmale möglichst gut an den Übertragungskanal angepasst ist. Dazu enthält jeder Sender entsprechende '''Funktionseinheiten''' wie
-*Wandler – z. B. ein Mikrofon zur Umwandlung der physikalischen Größe „Druck” (akustische Welle) in ein elektrisches Signal,
-*Signalumsetzer – beispielsweise von „analog” nach „digital” mit Hilfe der Komponenten Abtastung, Quantisierung und Binärcodierung,
-*Codierer zum Entfernen von Redundanz zur Datenkomprimierung (Quellencodierung) oder zum systematischen Hinzufügen von Redundanz, die beim Empfänger zur Fehlererkennung und/oder Fehlerkorrektur genutzt werden kann (Kanalcodierung),
-*Modulator zur Anpassung an den Übertragungskanal – z. B. eine Frequenzumsetzung mittels Amplituden-, Phasen- oder Frequenzmodulation bzw. den entsprechenden digitalen Verfahren ASK, PSK bzw. FSK.
-Je nach Anwendung bedeuten die obigen '''Leistungsmerkmale''', dass für die Signalübertragung ganz spezifische Eigenschaften gefordert werden. Solche Merkmale sind beispielsweise:
-*Leistungsbegrenzung – aufgrund der Diskussionen zum Thema &bdquo;Elektrosmog&rdquo; hochaktuell,
-*Bandbreiteneffizienz – die UMTS-Versteigerung 2000 hat gezeigt, um welche Beträge es hierbei geht,
-*Distanz bzw. Reichweite – ungünstige Werte erhöhen die Infrastrukturkosten,
-*Übertragungsqualität – z. B. ein hoher Signal-zu-Störabstand oder eine geringe Fehlerrate.
-==Übertragungskanal==
-Bei der Realisierbarkeit bestimmter Übertragungseigenschaften spielt das '''Übertragungsmedium''' mit seinen physikalischen Eigenschaften eine wesentliche Rolle.
-Beispiele für Übertragungsmedien sind:
-*elektrische Leitungen, z. B. Kupferdraht, Twisted Pair,
-*Koaxialkabel, z. B. Antennenleitung oder Kabelnetz,
-*Lichtwellenleiter, z. B. Multimode- und Monomodeglasfaser,
-*Funkkanäle, z. B. Rundfunk, Mobilfunk und Satellitenfunk.
-Diese Übertragungsmedien sind in der Praxis nicht ideal und beeinträchtigen die Übertragung. Dies bedeutet: Das Empfangssignal $r(t)$ unterscheidet sich vom Sendesignal $s(t)$, möglicherweise aufgrund
-*der Kanaldämpfung,
-*von Laufzeiten auf dem Kanal,
-*von Verzerrungen linearer und nichtlinearer Art.
-Hinzu kommt, dass sich die Kanalübertragungseigenschaften mit der Zeit stark verändern können (&bdquo;Zeitvarianz&rdquo;, Beispiel: Mobilfunk).
-Zusätzlich sind stets die bei der Signalübertragung auftretenden '''Störsignale''' zu berücksichtigen. Hier kann man als Beispiele nennen:
-*Rauschsignale – z. B. Widerstands- und Halbleiterrauschen,
-*Impulsstörungen – z. B. Starkstromleitungen, Funkenstörungen und Entladungen,
-*Nachbarkanalstörungen (Übersprechen anderer Nutzer, Interferenzen, Kreuzmodulation).
-Sie finden einige grundlegende Details über die Modellierung des Nachrichtenkanals allgemein und des recht einfachen AWGN-Kanalmodells im folgenden Lernvideo &bdquo;Eigenschaften des Übertragungskanals&rdquo;:
-<lntmedia>
-  datei:Eigenschaften_des_Uebertragungskanals.mp4
-  datei:Eigenschaften_des_Uebertragungskanals.ogv
-</lntmedia>
-<lntmedia>
-  datei:Pulscodemodulation_3.mp4
-  datei:Pulscodemodulation_3.ogv
-</lntmedia>
-==Empfänger – Nachrichtensinke==
-Als Beispiele für die Nachrichtensinke können wir nennen:
-*Auge und Ohr des Menschen,
-*Videorecorder und Anrufaufzeichner,
-*ein Personalcomputer, der eine Datei aus dem Internet herunterlädt, oder
-*eine Steuerungsanlage, die empfangene Messsignale verarbeitet.
-Damit zumindest im – in der Praxis allerdings nie erreichbaren – Idealfall das Sinkensignal $v(t)$ mit dem Quellensignal $q(t)$ übereinstimmen könnte, müssen durch den Empfänger alle sendeseitig getroffenen Maßnahmen rückgängig gemacht werden. Entsprechende '''Funktionseinheiten''' des Empfängers können sein:
-*Wandler – zum Beispiel ein Lautsprecher zur Umwandlung eines elektrischen in ein akustisches Signal (Gegenstück zum Mikrofon),
-*Signalrücksetzung – zum Beispiel die Rekonstruktion des Analogsignals aus den digitalen Abtastwerten (Gegenstück zum A/D-Wandler),
-*Decodierung – zum Beispiel mit der Möglichkeit zur Fehlererkennung und Fehlerkorrektur (Gegenstück zum Kanalcodierer),
-*Demodulation – zum Beispiel Frequenzrücksetzung des Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich (Gegenstück zum AM/FM/PM-Modulator).
-Eine weitere wichtige Aufgabe des Empfängers besteht darin, die bei der Übertragung aufgetretenen Signalverfälschungen und Störungen möglichst gut zu beseitigen.
-Die Realisierung solcher Systemkomponenten für Sender und Empfänger geschieht durch verschiedene elektrische Netzwerke und Baugruppen. Auch hier lassen sich beispielhaft einige Funktionseinheiten nennen:
-*Verstärker, Filter und Entzerrer,
-*Oszillatoren und nichtlineare Komponenten zur (De-)Modulation und Synchronisation,
-*digitale Signalverarbeitungskomponenten und Signalprozessoren.
-==Signalverfälschungen==
-Es wurde bereits angesprochen, dass im Idealfall $v(t) = q(t)$ sein sollte. Gilt jedoch wie bei jedem realen Übertragungskanal $r(t) \neq s(t)$, so wird sich natürlich auch das Sinkensignal $v(t)$ vom Quellensignal $q(t)$ unterscheiden. Hierzu einige Beispiele:
-*Man spricht von '''Rauschen''', wenn für das Sinkensignal gilt:
-:: <math> v(t)=q(t)+n(t).</math>
-:Der additive Rauschanteil$ n(t)$ ist stets von stochastischer Natur und hat meist keinerlei Bezug zum Nachrichtensignal $q(t)$. Ein solcher Rauschterm ist bei jeder Übertragung unvermeidlich.
-*Die Übertragung ist '''verzerrungsfrei''', wenn das Sinkensignal wie folgt lautet:
-:: <math>v(t)=a*q(t-\tau)+n(t).</math>
-:Das Sinkensignal unterscheidet sich vom Quellensignal in diesem Falll – außer durch den Störanteil $n(t)$ – nur noch durch den (für alle Frequenzen gleichen) Dämpfungsfaktor $\alpha$ und die (ebenfalls für alle Frequenzen gleiche) Laufzeit $\tau$.
-*Ist die Gleichung $v(t)=a*q(t-\tau)+n(t)$ nicht erfüllt, so liegen '''Verzerrungen''' vor. Wie im Buch [[Lineare zeitinvariante Systeme]] beschrieben wird, unterscheidet man zwischen [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|linearen Verzerrungen]] und [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|nichtlinearen Verzerrungen]].
-Hier nochmals in etwas anderen Worten:
-*Der Dämpfungsfaktor $\alpha$ bewirkt, dass das Signal $v(t)$ die gleiche Form wie $q(t)$ hat und nur etwas „leiser“ ist.
-*Die Laufzeit $\tau$ führt dazu, dass das Signal $v(t)$ am Empfänger später ankommt, als $q(t)$ gesendet wurde.
-Beide Effekte sind für eine ''unidirektionale Übertragung'' nicht sonderlich störend: Man kann zum Beispiel immer noch von einer Live-Übertragung sprechen, wenn das Fernsehbild etwas verzögert ankommt.
-Bei einer ''bidirektionalen Übertragung'' kann eine lange Laufzeit allerdings zu Problemen führen. Bei einem Telefonat fallen sich dann die beiden Gesprächspartner gegenseitig ins Wort.
-{{Beispiel}}
-[[File:P_ID587_Sig_T_1_1_S7a.jpg|right|Farbschablone zur Verdeutlichung von Verzerrungen und Rauschen]]
-Die hier benutzten Begriffe sollen nun an einem Bildsignal verdeutlicht werden. Rechts sehen Sie als Orginalbild eine Farbschablone mit 291 × 218 Pixeln und 24 Bit Farbtiefe. Von den möglichen $2^{24} = 16 777 216$ Farben sind hier allerdings nur wenige benutzt.
-*Im linken unteren Bild ist dem Signal ein additives Rauschsignal $n(t)$ überlagert, was sich als „Schnee” bemerkbar macht.
-*Das rechte untere  Bild zeigt den Einfluss von (nichtlinearen) Verzerrungen, die bei der gewählten Einstellung der CCD-Kamera sowohl zu einer Verfälschung der Helligkeitswerte als auch der Farbinformationen führen.
-*Im markierten Feld der Grautreppe stimmt die Helligkeit näherungsweise mit dem Orginalbild (oben) überein.
-*Dagegen erscheinen andere Felder als zu hell oder zu dunkel bzw. mit Fehlfarben belegt. Rauscheffekte spielen im rechten Bild  keine Rolle im Gegensatz zum linken Bild.
-[[File:P_ID588_Sig_T_1_1_S7b.jpg|Auswirkungen von Rauschen und Verzerrungen auf ein Bildsignal]]
-{{end}}
-==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:1.1 Musiksignale|Aufgabe 1.1: &nbsp; Musiksignale]]
-[[Aufgaben:1.1Z_ISDN-Verbindung|Zusatzaufgabe 1.1Z: &nbsp; ISDN-Verbindung]]
-{{Display}}