[[File:P_ID718__Sig_A_4_4.png|250px|right|frame|Spectrum of the analytical signal]]
Wir gehen aus von einem cosinusförmigen Quellensignal $q(t)$ mit
We assume a cosine-shaped source signal $q(t)$ with
*der Amplitude $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$ und
*amplitude $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$ and
*der Frequenz $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.
*frequency $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.
Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]], abgekürzt ZSB–AM.
Das modulierte Signal $s(t)$ lautet mit dem (normierten) Träger $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$ und dem Gleichanteil $q_0 = 1 \ \text{V}$:
The frequency conversion is done by means of [[Modulation_Methods/Double-Sideband_Amplitude_Modulation#Double-Sideband_Amplitude_Modulation_with_carrier|"Double-Sideband Amplitude Modulation with Carrier"]].
The modulated signal $s(t)$ is with the (normalised) carrier $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$ and the DC component $q_0 = 1 \ \text{V}$:
Der erste Term beschreibt den Träger, der zweite Term das sogenannte obere Seitenband (OSB) und der letzte Term das untere Seitenband (USB).
The first term describes the carrier, the second term the so-called upper sideband $\rm (OSB)$ and the last term the lower sideband $\rm (USB)$.
Die Skizze zeigt das Spektrum $S_+(f)$ des dazugehörigen analytischen Signals für $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. Man erkennt
The sketch shows the spectrum $S_+(f)$ of the corresponding analytical signal for $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. You can see
*den Träger (rot),
*the carrier (red),
*das obere Seitenband (blau) und
*the upper sideband (blue), and
*das untere Seitenband (grün).
*the lower sideband (grün).
In der Teilaufgabe (5) ist nach dem Betrag von $s_+(t)$ gefragt. Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
In subtask '''(5)''' the magnitude of $s_+(t)$ is asked for. This is the length of the resulting pointer.
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Zeigerdiagramm_–_Darstellung_des_analytischen_Signals_(Applet)|Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] überprüfen.
''Hints:''
*This exercise belongs to the chapter [[Signal_Representation/Analytical_Signal_and_Its_Spectral_Function|Analytical Signal and its Spectral Function]].
*The interactive applet [[Applets:Physical_Signal_%26_Analytic_Signal|Physical and Analytical Signal]] illustrates the topic covered here.
*In this task we use the following nomenclature because of the German original:
'''1.''' Durch Fourierrücktransformation von $S_+(f)$ unter Berücksichtigung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]] gilt:
'''(1)''' By inverse Fourier transform of $S_+(f)$ taking into account the "Shifting Theorem":
\omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V}
\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm
40}\hspace{0.05cm} t }.$$
Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen. In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$. Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse (siehe linke Grafik), und man erhält den <u>rein reellen</u> Wert $s_+(t = 0) \;\underline{= 1.8 \ \text{V}}$.
[[File:EN_Sig_A_4_4_ML.png|center|frame|Three different analytical signals]]
[[File:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|center|Drei verschiedene nalytische Signale]]
*The expression describes the sum of three pointers rotating at different circular velocities.
*In the above equation, for example, $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$.
*At time $t = 0$ all three pointers point in the direction of the real axis (see left graph).
'''(2)''' The <u>first statement</u> is correct and results from the "Hilbert transform". On the other hand, the next two statements are'nt correct:
*$s_+(t)$ is always a complex time function with exception of the limiting case $s(t) \equiv 0$.
*However, every complex function also has purely real values at some points in time.
*The "pointer group" always rotates in a mathematically positive direction.
*If the sum vector crosses the real axis, the imaginary part disappears at this point and $s_+(t)$ is purely real.
'''2.''' Die <u>erste Aussage</u> ist richtig und ergibt sich aus der [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert-Transformation]]. Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:
*$s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t) = 0$. Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
*Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung. Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und $s_+(t)$ ist rein reell.
'''3.''' Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T = 20 \ μ\text{s}$. Nach $t = 5 \ μ\text{s}$ (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um $90^{\circ}$ gedreht. Der blaue Zeiger (OSB) dreht um 20% schneller, der grüne (USB) um 20% langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
'''(3)''' The period duration of the carrier signal is $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm µ} \text{s}$.
*After $t = 5 \ {\rm µ} \text{s}$ (see middle graph) the carrier has thus rotated by $90^{\circ}$.
*The blue pointer $\rm (OSB)$ rotates $20\%$ faster, the green one $\rm (USB)$ $20\%$ slower than the red rotary pointer (carrier signal):
Somit sind die in $ 5 \ μ\text{s}$ zurückgelegten Winkel von OSB und USB $108^{\circ}$ bzw. $72^{\circ}$. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist $s_+(t=5 \ \mu \text{s})$ <u>rein imaginär</u> und man erhält:
'''4.''' Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ μ\text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend $72^{\circ}$ weniger. Die Summe der drei Zeiger ist wieder <u>rein reell</u> und ergibt entsprechend der rechten Grafik:
'''(4)''' After one rotation of the red carrier, i.e. at time $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm µ} \text{s}$, the blue pointer has already covered $72^{\circ}$ more and the green pointer correspondingly $72^{\circ}$ less. The sum of the three pointers is again <u>real</u> and results in accordance with the graph on the right:
'''5.''' Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um $180^{\circ}$ versetzt sind. Daraus folgt:
'''(5)''' The magnitude is minimum when the pointers of the two sidebands are offset from the carrier by $180^{\circ}$ . It follows:
Innerhalb einer Periode $T_0$ des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von $\pm72^{\circ}$ auf. Daraus folgt:
Within one period $T_0$ of the carrier, a phase offset of $\pm72^{\circ}$ occurs with respect to the pointers of the two sidebands. From this follows:
The expression describes the sum of three pointers rotating at different circular velocities.
In the above equation, for example, $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$.
At time $t = 0$ all three pointers point in the direction of the real axis (see left graph).
One obtains the real value $s_+(t = 0) \;\underline{= 1.8 \ \text{V}}$.
(2) The first statement is correct and results from the "Hilbert transform". On the other hand, the next two statements are'nt correct:
$s_+(t)$ is always a complex time function with exception of the limiting case $s(t) \equiv 0$.
However, every complex function also has purely real values at some points in time.
The "pointer group" always rotates in a mathematically positive direction.
If the sum vector crosses the real axis, the imaginary part disappears at this point and $s_+(t)$ is purely real.
(3) The period duration of the carrier signal is $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm µ} \text{s}$.
After $t = 5 \ {\rm µ} \text{s}$ (see middle graph) the carrier has thus rotated by $90^{\circ}$.
The blue pointer $\rm (OSB)$ rotates $20\%$ faster, the green one $\rm (USB)$ $20\%$ slower than the red rotary pointer (carrier signal):
$$s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}50 \hspace{0.03cm} \cdot\hspace{0.08cm}0.005 } + {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot\hspace{0.08cm}60 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } = {\rm 1\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.$$*Thus, the angles travelled in $ 5 \ {\rm µ} \text{s}$ by OSB and USB are $108^{\circ}$ and $72^{\circ}$ respectively.*Since at this time the real parts of OSB and USB compensate, $s_+(t=5 \ {\rm µ} \text{s})$ is purely imaginary and we obtain::$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})\right] ={\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$
(4) After one rotation of the red carrier, i.e. at time $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm µ} \text{s}$, the blue pointer has already covered $72^{\circ}$ more and the green pointer correspondingly $72^{\circ}$ less. The sum of the three pointers is again real and results in accordance with the graph on the right:
