Applets:Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen

Open Applet in a new tab

Programmbeschreibung

Dieses Applet soll den Begriff "Entropie" am Beispiel einer binären Nachrichtenquelle verdeutlichen. Die Quellensymbolfolge lautet somit  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$  mit  $q_i \in \{A, B\}$  für  $i \ge 1$. Betrachtet werden sowohl eine gedächtnisfreie Quelle als auch eine Markovquelle erster Ordnung (also mit Gedächtnis "1"), deren Entropien  $H$  jeweils in geschlossener Form angegeben werden können.

Ebenso werden für die unendlich lange Quellensymbolfolge so genannte Entropienäherungen  $H_1$,  $H_2$, ... ,  $H_k$, ... in geschlossener Form angegeben, wobei

• sich  $H_1$  allein auf die Symbolwahrscheinlichkeiten bezieht (das heißt:   Abhängigkeiten der Symbole innerhalb der Folge bleiben unberücksichtigt),
• zur Berechnung von  $H_2$  die Folge in Zweiertupel aufgeteilt und deren Entropie angegeben wird, und schließlich
• durch Erweiterung die Entropie  $H_k$  von  $k$–Tupeln angebbar ist.

Hierbei besteht für jede beliebige Nachrichtenquelle (mit oder ohne Gedächtnis) folgende Größenrealationen:

$$ H <\text{...} \le H_k <\text{...} \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 = \log_2 \ 2 = 1\text{ bit/Symbol} \hspace{0.05cm}.$$

$H_0$  bezeichnet den Entscheidungsgehalt von binären Nachrichtenquellen. Die Entropie  $H$  der Quelle ergibt sich als der Grenzwert der  $H_k$  für  $k \to \infty$.

Implizit vorausgesetzt ist bei allen diesen analytisch angebbaren Größen die Folgenlänge  $N \to \infty$. Die Entropie  $H$  lässt sich aber auch aus einer begrenzten Quellensymbolfolge  $〈 q_1 \hspace{0.05cm}〉 =〈 q_1 , \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{N}\hspace{0.05cm}〉$  annähern, also auch dann, wenn die statistischen Eigenschaften der Binärquelle unbekannt sind. Die entsprechenden Entropienäherungen werden hier mit  $\hat H_1$,  $\hat H_2$, ... ,  $\hat H_k$, ... bezeichnet.

Auch hierauf wird in der folgenden Beschreibung eingegangen mit dem Fazit:

• Die Näherung  $\hat H_k$  ist natürlich um so genauer, je größer die Folgenlänge  $N$  ist.
• Ist über die Quelle nichts weiter bekannt als die beispielhafte Folge, so ist der Rechenaufwand enorm.

Theoretischer Hintergrund

Die Entropie spielt in vielen naturwissenschaftlichen Fachgebieten eine große Rolle. Beschränken wir uns auf unser Fachgebiet der Statistik und der Informationstechnik, so ist die Entropie nach der Definition von  Claude E. Shannon  unter anderem ein Maß für die mittlere Unsicherheit über den Ausgang eines statistischen Ereignisses, für die „Zufälligkeit” dieses Ereignisses und für den mittleren Informationsgehalt einer Zufallsgröße.

Entropie einer gedächtnislosen Binärquelle

Binäre Entropiefunktion als Funktion von $p$

Wir setzen zunächst voraus, dass die Auftrittwahrscheinlichkeiten der beiden Symbole  $\rm A$  und  $\rm B$  unabhängig von den vorherigen Symbolen innerhalb der Folge gleich  $p_{\rm A} = p$  und  $p_{\rm B} = 1 – p$  seien.

Für die Entropie dieser "gedächtnislosen" Binärquelle gilt:

$$H = H_{\rm bin} (p) = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)} \hspace{0.05cm}.$$

Man bezeichnet die Funktion  $H_\text{bin}(p)$  als die binäre Entropiefunktion. Aus der Grafik erkennt man:

• Der Maximalwert  $H_\text{0} = 1\; \rm bit/Symbol$  ergibt sich für  $p = 0.5$, also für gleichwahrscheinliche Binärsymbole. Dann liefern  $\rm A$  und  $\rm B$  jeweils den gleichen Beitrag zur Entropie.  $H_\text{0}$ nennt man auch den Entscheidungsgehalt.
• $H_\text{bin}(p)$  ist symmetrisch um  $p = 0.5$. Eine Quelle mit  $p_{\rm A} = 0.1$  und  $p_{\rm B} = 0.9$  hat die gleiche Entropie  $H = 0.469 \; \rm bit/Symbol$  wie eine Quelle mit  $p_{\rm A} = 0.9$  und  $p_{\rm B} = 0.1$.
• Die Differenz  $ΔH = H_\text{0} - H$  gibt die Redundanz der Quelle an und  $r = ΔH/H_\text{0}$  die relative Redundanz. Im Beispiel ergeben sich  $ΔH = 0.531\; \rm bit/Symbol$  bzw.  $r = 53.1 \rm \%$.
• Für  $p = 0$  ergibt sich  $H = 0$, da hier die Symbolfolge  $\rm B \ B \ B \text{...}$  mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Eigentlich ist nun der Symbolumfang nur noch  $M = 1$. Gleiches gilt für  $p = 1$, also für die Symbolfolge  $\rm A A A \text{...}$ 

Entropie hinsichtlich Zweiertupel

Zur Verdeutlichung der Zweiertupel  $\rm AA$,  $\rm AB$,  $\rm BA$,  $\rm BB$

Wir teilen nun die Quellensymbolfolge $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$ in Zweiertupel entsprechend der Grafik auf und betrachten dadurch die Entropie zweier aufeinanderfolgender Quellensymbole.

Die Binärquelle wird weiterhin wie im letzten Abschnitt als gedächtnislos bzw. redundanzfrei vorausgesetzt. Für die Kombination $(q_ν, \hspace{0.05cm}q_{ν+1})$ gibt es in diesem Fall  $2^2 = 4$  mögliche Symbolpaare (farblich markiert) mit folgenden  Verbundwahrscheinlichkeiten:

$${\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1})\le {\rm Pr}(q_{\nu}) \cdot {\rm Pr}( q_{\nu+1}) \hspace{0.05cm}.$$

Daraus ist die Verbundentropie eines Zweier–Tupels berechenbar (der Index "2" symbolisiert, dass sich die so berechnete Entropie auf Zweiertupel bezieht):

$$H_2\hspace{0.05cm}' = \sum_{q_{\nu}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}} \sum_{q_{\nu+1}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm} q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}}\hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1}) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{{\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1})} \hspace{0.4cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Zweiertupel}) \hspace{0.05cm}.$$

Um den mittleren Informationsgehalt pro Symbol zu erhalten, muss  $H_2\hspace{0.05cm}'$  noch halbiert werden:

$$H_2 = {H_2\hspace{0.05cm}'}/{2} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol}) \hspace{0.05cm}.$$

Um eine konsistente Nomenklatur zu erreichen, benennen wir nun die im letzten Abschnitt definierte Entropie mit  $H_1$:

$$H_1 = \sum_{q_{\nu}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}} {\rm Pr}(q_{\nu}) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{{\rm Pr}(q_{\nu})} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol}) \hspace{0.05cm}.$$

Der Index "1" soll darauf hinweisen, dass  $H_1$  ausschließlich die Symbolwahrscheinlichkeiten berücksichtigt und nicht statistischen Bindungen zwischen Symbolen innerhalb der Folge. Mit dem Entscheidungsgehalt  $H_0 = \log_2 2 = 1\text{ (bit)}$  ergibt sich dann folgende Größenbeziehung:

$$H_0 \ge H_1 \ge H_2 \hspace{0.05cm}.$$

Verdeutlichen wir uns nun die Berechnung der Entropienäherungen  $H_1$  und  $H_2$  an zwei Beispielen.

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten zunächst eine gedächtnislose Binärquelle mit gleichwahrscheinlichen Symbolen, das heißt es gelte  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 1/2$. Die ersten zwanzig Folgenelemente lauten:   $〈 q_ν 〉 =\rm BBAAABAABBBBBAAAABAB$ ...

• Aufgrund der gleichwahrscheinlichen Binärsymbole ist  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$.
• Die Verbundwahrscheinlichkeit  $p_{\rm AB}$  der Kombination  $\rm AB$  ist gleich  $p_{\rm A} · p_{\rm B} = 1/4$. Ebenso gilt  $p_{\rm AA} = p_{\rm BB} = p_{\rm BA} = 1/4$.
• Damit erhält man für die zweite Entropienäherung

$$H_2 = {1}/{2} \cdot \big [ {1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 + {1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 +{1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 +{1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 \big ] = 1 \,{\rm bit/Symbol} = H_1 = H_0 \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Beispiel 2:}$  Die zweite hier betrachtete Folge ergibt sich aus der Folge von $\text{Beispiel 1}$ durch Anwendung eines einfachen Wiederholungscodes:

$$〈 q_ν 〉 =\rm BbBbAaAaAaBbAaAaBbBb \text{...} $$

• Die wiederholten Symbole sind durch entsprechende Kleinbuchstaben dargestellt. Bitte beachten Sie:   Es handelt sich trotzdem um eine Binärquelle.
• Aufgrund der gleichwahrscheinlichen Binärsymbole ergibt sich auch hier  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$.
• Für die Verbundwahrscheinlichkeiten gilt nun  $p_{\rm AA}=p_{\rm BB} = 3/8$  und  $p_{\rm ABA}=p_{\rm BAB} = 1/8$. Daraus folgt:

$$\begin{align*}H_2 ={1}/{2} \cdot \big [ 2 \cdot {3}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} {8}/{3} + 2 \cdot {1}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8\big ] = {3}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8 - {3}/{8} \cdot{\rm log}_2\hspace{0.1cm}3 + {1}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8 \approx 0.906 \,{\rm bit/Symbol} < H_1 = H_0 \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Betrachtet man sich die Aufgabenstellung genauer, so kommt man zu folgendem Schluss:

• Die Entropie müsste eigentlich  $H = 0.5 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  sein (jedes zweite Symbol liefert keine neue Information).
• Die zweite Entropienäherung  $H_2 = 0.906 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  ist aber deutlich größer als die Entropie  $H$.
• Zur Entropiebestimmung dieser redundanten Symbolfolge reicht also die Näherung zweiter Ordnung nicht aus.
• Vielmehr muss man größere zusammenhängende Blöcke mit  $k > 2$  Symbolen betrachten. Einen solchen Block bezeichnen wir im Folgenden als $k$–Tupel.

Verallgemeinerung auf $k$–Tupel und Grenzübergang

Wir schreiben zur Abkürzung mit der Verbundwahrscheinlichkeit  $p_i^{(k)}$  eines $k$–Tupels allgemein:

$$H_k = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{M^k} p_i^{(k)} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_i^{(k)}} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol}) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Laufvariable  $i$  steht jeweils für eines der  $M^k$ Tupel. Bei den hier betrachteten Binärquellen gilt  $M=2$.
• Die vorher berechnete Näherung  $H_2$  ergibt sich mit  $k = 2$.
• Für die Entropienäherungen  $H_k$  gelten folgende Größenrelationen; $H_0 = 1\text{ (bit/Symbol)}$ ist wieder der Entscheidungsgehalt:

$$H \le \text{...} \le H_k \le \text{...} \le H_2 \le H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$$

• Die Entropie einer Nachrichtenquelle mit Gedächtnis ist der folgende Grenzwert:

$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }H_k \hspace{0.05cm}.$$

Der Rechenaufwand wird bis auf wenige Sonderfälle $($siehe nachfolgendes $\text{Beispiel 3)}$ mit zunehmendem  $k$  immer größer:

• Zur Berechnung von  $H_{10}$  einer Binärquelle ist über  $2^{10} = 1024$  Terme zu mitteln.
• Mit jeder weiteren Erhöhung von  $k$  um  $1$  verdoppelt sich die Anzahl der Summenterme.

$\text{Beispiel 3:}$  Wir betrachten eine alternierende Binärfolge   ⇒   $〈 q_ν 〉 =\rm ABABABAB$ ...   . Entsprechend gilt  $H_0 = H_1 = 1 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$.

In diesem Sonderfall muss zur Bestimmung der  $H_k$–Näherung unabhängig von  $k$  stets nur über zwei Verbundwahrscheinlichkeiten gemittelt werden:

• $k = 2$:    $p_{\rm AB} = p_{\rm BA} = 1/2$     ⇒     $H_2 = 1/2 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$,
• $k = 3$:    $p_{\rm ABA} = p_{\rm BAB} = 1/2$     ⇒     $H_3 = 1/3 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$,
• $k = 4$:    $p_{\rm ABAB} = p_{\rm BABA} = 1/2$     ⇒     $H_4 = 1/4 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$.

Die (tatsächliche) Entropie dieser alternierenden Binärfolge ist demzufolge

$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }{1}/{k} = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis war zu erwarten, da die betrachtete Folge nur minimale Information besitzt, die sich allerdings im Entropie–Endwert  $H$  nicht auswirkt, nämlich die Information:   „Tritt $\rm A$ zu den geraden oder ungeraden Zeitpunkten auf?”

Man erkennt, dass  $H_k$  dem Endwert  $H = 0$  nur sehr langsam näher kommt:   Die zwanzigste Entropienäherung liefert immer noch  $H_{20} = 0.05 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$.

Binärquellen mit Markoveigenschaften

Markovprozesse mit $M = 2$ Zuständen

Folgen mit statistischen Bindungen zwischen den Folgenelementen (Symbolen) werden oft durch Markovprozesse modelliert, wobei wir uns hier auf binäre Markovprozesse erster Ordnung mit den Zuständen (Symbolen)  $\rm A$  und  $\rm B$  beschränken.

Rechts sehen Sie das Übergangsdiagramm für einen binären Markovprozess erster Ordnung. Von den vier angegebenen Übertragungswahrscheinlichkeiten sind allerdings nur zwei frei wählbar, zum Beispiel

• $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} = \rm Pr(A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B)$   ⇒   bedingte Wahrscheinlichkeit, dass  $\rm A$  auf  $\rm B$  folgt.
• $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} = \rm Pr(B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A)$   ⇒   bedingte Wahrscheinlichkeit, dass  $\rm B$  auf  $\rm A$  folgt.

Für die beiden weiteren Übergangswahrscheinlichkeiten gilt dann  $p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1- p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}$  und   $p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 1- p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \hspace{0.05cm}.$

Aufgrund der vorausgesetzten Eigenschaften Stationarität und Ergodizität gilt für die Zustands– bzw. Symbolwahrscheinlichkeiten:

$$p_{\rm A} = {\rm Pr}({\rm A}) = \frac{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = {\rm Pr}({\rm B}) = \frac{p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} \hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichungen erlauben erste informationstheoretische Aussagen über Markovprozesse:

• Für  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}$  sind die Symbole gleichwahrscheinlich   ⇒   $p_{\text{A}} = p_{\text{B}}= 0.5$. Die erste Entropienäherung liefert demzufolge  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$, und zwar unabhängig von den tatsächlichen Werten der (bedingten) Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\text{A|B}}$  bzw.  $p_{\text{B|A}}$.
• Die Quellenentropie  $H$  als der Grenzwert $($für  $k \to \infty)$  der Entropienäherung $k$–ter Ordnung   ⇒   $H_k$  hängt aber sehr wohl von den tatsächlichen Werten von  $p_{\text{A|B}}$  und  $p_{\text{B|A}}$  ab und nicht nur von ihrem Quotienten. Dies zeigt das folgende Beispiel.

$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten drei Markovquellen, die sich durch die Zahlenwerte der symmetrischen Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} }$  unterscheiden.

• Für die Symbolwahrscheinlichkeiten gilt somit  $p_{\rm A} = p_{\rm B}= 0.5$.
• Die anderen Übergangswahrscheinlichkeiten haben dann die Werte  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }.$

Drei Beispiele binärer Markovquellen

• Die mittlere (blaue) Symbolfolge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.5$  besitzt die Entropie  $H ≈ 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$. Das heißt:   In diesem Sonderfall gibt es keine statistischen Bindungen innerhalb der Folge.

• Die linke (rote) Folge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$  weist weniger Wechsel zwischen  $\rm A$  und  $\rm B$  auf. Aufgrund von statistischen Abhängigkeiten zwischen benachbarten Symbolen ist nun  $H ≈ 0.72 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  kleiner.

• Die rechte (grüne) Symbolfolge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$  hat die genau gleiche Entropie  $H ≈ 0.72 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  wie die rote Folge. Hier erkennt man viele Bereiche mit sich stets abwechselnden Symbolen (... $\rm ABABAB$ ... ).

Für den allgemeineren Fall  $p_{\text{A}} \ne p_{\text{B}}$  ist die Entropieberechnung der Zweiertupel etwas komplizierter:

• Mit den Verbundwahrscheinlichkeiten, zum Beispiel  $p_{\text{AB}} = p_{\text{A}} · p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}$, kann geschrieben werden:

$$H_2\hspace{0.05cm}' = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} \hspace{0.05cm}.$$

• Ersetzt man nun die Logarithmen der Produkte durch entsprechende Summen von Logarithmen, so erhält man das Ergebnis  $H_2\hspace{0.05cm}' = H_1 + H_{\text{M}}$  mit

$$H_1 = p_{\rm A} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = p_{\rm A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = H_{\rm bin} (p_{\rm A})= H_{\rm bin} (p_{\rm B}) \hspace{0.05cm},$$

$$H_{\rm M}= p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} \hspace{0.05cm}.$$

• Damit lautet die zweite Entropienäherung (mit der Einheit „bit/Symbol”):

$$H_2 = {1}/{2} \cdot {H_2\hspace{0.05cm}'} = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm 1} + H_{\rm M} \big] \hspace{0.05cm}.$$

• Erweitert man dieses Ergebnis für  $H_2$  auf die $k$–te Entropienäherung, so erhält man:

$$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H_{\rm M}\big ].$$

• Die Entropie einer Markovquelle ergibt sich als der folgende Grenzwert und ist demzufolge einfach zu berechnen:

$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }H_k \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} H = H_{\rm M} = 2 \cdot H_2 - H_1 \hspace{0.05cm}.$$

Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

Unbekannte Binärquelle

• Ist von der Nachrichtenquelle nicht mehr bekannt als der Symbolunfang  $M=2$, so müssen die Entropienäherungen  $\hat H_k$  numerisch aus der Quellensymbolfolge  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}q_{N} \hspace{0.05cm}〉$  ermittelt werden. Die Entropie  $H$ ergibt sich als der Grenzwert der  $\hat H_k$  für  $k \to \infty$, wobei gilt:

$$ H <\text{...} <\hat H_k <\text{...} < \hat H_3 < \hat H_2 < \hat H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$$

• Bei der numerischen Ermittlung werden alle Wahrscheinlichkeiten  $(p_{\rm A}, \text{...})$  und bedingten Wahrscheinlichkeiten  $(p_{\rm A|B}, \text{...})$  durch entsprechende relative Häufigkeiten  $(h_{\rm A}, \text{...})$  und bedingte Wahrscheinlichkeiten  $(h_{\rm A|B}, \text{...})$  angenähert.
• Die Genauigkeit der numerischen Ermittlung nimmt bei gleichem  $N$  mit steigendem  $k$  ab. Das heißt:   Die Folgenlänge  $N$  der Simulation muss an den größten  $k$–Wert angepasst werden.

Gedächtnislose Binärquelle

• Eine gedächtnislose Binärquelle ist vollständig durch die Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$  und  $p_{\rm B} = 1- p_{\rm A}$  charakterisiert. Für die Entropie gilt folgende Gleichung:

$$H = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)} \hspace{0.05cm}.$$

• Der Maximalwert der Entropie ergibt sich für  $p_{\rm A}= p_{\rm B} =0.5$;  $H_0 = \log_2 \ M$  bezeichnet man als den Entscheidungsgehalt der Quelle. Im binären Fall  $(M = 2)$  gilt:

$$H_{\rm max} = H_0 = \text{ 1 bit/Symbol}\hspace{0.05cm}.$$

• In diesem Fall  $(p_{\rm A}= p_{\rm B} =0.5)$  ist die Symbolfolge redundanzfrei   ⇒   die relative Redundanz ist gleich  $r = (H - H_0)/H_0= 0$.

• Im unsymmetrischen Fall  $(p_{\rm A} \ne p_{\rm B})$  ist die relative Redundanz  $r > 0$  und für die Entropie gilt mit den Entropienäherung  $H_k$:

$$H = H_1 < H_0, \hspace{0.5cm}H_1 = H_2 = H_3 = \text{...} .$$

• Bei einer gedächtnislosen Quelle sind also alle (analytisch berechneten) Entropienäherungen  $H_k$  exakt gleich. Für die durch Simulation aus der Symbolfolge  $〈 q_ν〉$  der Länge  $N$  gewonnenen Näherungen  $\hat H_k$  gilt dieser Zusammenhang bestenfalls näherungsweise

$$\hat H_1 \approx \hat H_2 \approx \hat H_3 \approx \text{...} .$$

• Als Ergebnis sollte man  $H \approx \hat H_1$  verwenden. Bei gegebenem  $N$  sind die auf der Zeitmittelung basierenden Fehler für  $\hat H_2$  $\hat H_3$, ... deutlich größer. Oder anders ausgedrückt:   Um die gleiche statistische Sicherheit für die Ermittlung von  $\hat H_{k+1}$  wie bei  $\hat H_k$  zu erzielen, muss man  $N$  verdoppeln.

Binäre Markovquelle

Markovprozesse mit $M = 2$ Zuständen

• Folgen mit statistischen Bindungen zwischen den Folgenelementen werden oft durch Markovprozesse modelliert, wobei wir uns hier auf binäre Markovprozesse erster Ordnung mit den Symbolen  $\rm A$  und  $\rm B$  beschränken.

• Für die Entropie  $H = H_{\text{M}}$  und die erste Entropienäherung  $H_1$  einer solchen Markovquelle gelten die folgenden Gleichungen:

$$H_{\text{M}} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} \hspace{0.05cm},$$

$$H_1 = p_{\rm A} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_1 = p_{\rm A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = H_{\rm bin} (p_{\rm A})= H_{\rm bin} (p_{\rm B}) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Entropienäherungen  $H_k$  für  $k$–Tupel hängen mit der ersten Näherung  $H_1$  und dem Endwert  $H = H_{\text{M}}$  wie folgt zusammen:

$$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H_{\rm M}\big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_2 = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm 1} + H_{\rm M} \big ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} H_3 ={1}/{3} \cdot \big [ H_{\rm 1} + 2 \cdot H_{\rm M}\big ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} H_4 = {1}/{4} \cdot \big [ H_{\rm 1} + 3 \cdot H_{\rm M}\big ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm usw.}$$

• Daraus folgt direkt:   Ist über die Nachrichtenquelle nicht mehr bekannt, als dass es sich um eine Markovquelle erster Ordnung handelt, so kann der Endwert  $H = H_{\rm M}$  allein aus den Entropienäherungen  $H_1$  und  $H_2$  ermittelt werden:

$$H = 2 \cdot H_2 - H_{\rm 1} \hspace{0.05cm}.$$

Bei einem symmetrischen Markovprozess   ⇒   Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } $   ⇒   Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A } = p_{\rm B } = 0.5 $  erhält man

$$H_{\text{M} } = H_{\text{bin} }(p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} })= p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } } + (1 - p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1 - p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } },\hspace{0.5cm}H_1 = 1\text{ bit/Symbol} .$$

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
• Alle Parameterwerte sind angepasst.
• Alle Entropiewerte werden berechnet und eine Symbolfolge ausgegeben.
• Musterlösung nach Drücken von "Hide solution".
• Mit der Nummer "0" wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt.

(1)   Wählen Sie die gedächtnislose Binärquelle mit  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$. Wie lauten die analytisch berechneten Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

Wie unterscheiden sich die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$  mit  $N=10^5$  von  $H_1$, ... ,  $H_6$?   Machen Sie jeweils zehn Versuche.

•  Es handelt sich um eine redundanzfreie Binärquelle   ⇒   $H = H_{\rm bin}(0.5) = H_1 =$ ... $=H_6 = 1\text{ bit/Symbol}$.
•  Auch die Simulation mit  $N=10^5$  liefert bei (fast) allen Versuchsreihen  $\hat H_1 =$ ...  $=\hat H_6 = 1.000$   ⇒   das auf drei Nachkommastellen richtige Ergebnis.

(2)   Wie unterscheiden sich bei sonst gleichen Einstellungen die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$ mit $N=10^3$?   Wieder jeweils zehn Versuche.

•  Die Entropienäherungen $H_k$ werden nun durch $\hat H_k$ ungenauer nachgebildet als mit $N=10^5$   ⇒   die Statistik ist nicht ausreichend.
•  Die Simulation mit $N=10^3$ liefert bei zehn Versuchsreihen für $\hat H_1$ entweder $1.000$ oder $0.999$ und für $\hat H_6$ Werte zwischen $0.982$ und $0.995$  
•   ⇒   Simulationsgenauigkeit nimmt mit steigendem $k$ ab. Die simulierten Werte $\hat H_k$ sind stets kleiner als $H_k = 1.000$. Beides gilt auch für noch kleineres  $N$.

(3)   Wählen Sie nun die gedächtnislose Binärquelle mit  $p_{\rm A} = 0.2$  und  $p_{\rm B} = 0.8$. Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

Wie unterscheiden sich die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$  mit  $N=10^5$  von  $H_1$, ... ,  $H_6$?   Wieder jeweils zehn Versuche.

•  Es gilt  $H = H_{\rm bin}(0.2) = 0.722\text{ bit/Symbol}$. Wie bei jeder gedächtnislosen Nachrichtenquelle gilt auch hier  $H_1 =$ ... $=H_6 = H$.
•  Die Simulation mit  $N=10^5$  liefert bei zehn Versuchsreihen für  $\hat H_1$  Werte zwischen $0.719$ und $0.727$. Es gilt aber stets  $\hat H_1 =$ ... $= \hat H_6$.
•  In solchen Fällen weicht die relative Häufigkeit  $h_{\rm A}$  von der Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A}$  ab. Ist  $\hat H_1 > 0.722$, so ist  $h_{\rm A} > 0.2$.

(4)   Was ändert sich gegenüber (3) mit den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} = 0.8$  und  $p_{\rm B} = 0.2$?

 Nichts. Die binäre Entropiefunktion ist symmetrisch um  $p=0.5$.

 Ist nun  $\hat H_1 > 0.722$, so ist  $h_{\rm A} < 0.8$.

(5)   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$ . Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

•  Bei dieser "Markovquelle" ist  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$ . Deshalb ist auch die unbedingte Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A} = 0.2$   ⇒   $p_{\rm B} = 0.8$.
• Es handelt sich also um die gleiche gedächtnislose Quelle wie bei (4)   ⇒  $H = H_1 =$ ... $=H_6 = 0.722\text{ bit/Symbol}$.

(6)   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$ . Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

•  Hier handelt es sich um eine "echte Markovquelle", da sich  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$  unterscheiden.
• Wegen  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}}$ sind die beiden unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten gleich:  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  ⇒   $H_1 = 1$.
• Die Entropienäherungen $H_k$ werden mit steigendem $k$ kleiner:  $H_2 = 0.861$,  $H_3 = 0.815$, ... ,  $H_6 = 0.768$. Der Endwert ist wieder  $H = H_\infty = 0.722\text{ bit/Symbol}$.

(7)   Welche Unterschiede gegenüber (6) ergeben sich mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$?

•  Die Entropienäherung  $H = H_{\rm bin}(0.8) = H_{\rm bin}(0.2)= 0.722\text{ bit/Symbol}$  bleibt gleich, ebenso alle Entropienäherungen  $H_k$.
• Wegen den größeren Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}} = 0.8$  erkennt man jetzt deutlich mehr Übergänge in der ausgegebenen Symbolfolge.

(8)   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.9$. Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

• Wegen  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} \ne p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}}$ sind nun die beiden unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten unterschiedlich:  $p_{\rm A} = 0.471$  und  $p_{\rm B} = 0.529$  ⇒   $H_1 = 0.998 \ne 1$.
• Die Entropienäherungen $H_k$ werden wieder kontinuierlich kleiner:  $H_2 = 0.800$,  $H_3 = 0.734$, ... ,  $H_6 = 0.669$. Endwert:   $H = H_\infty = 0.603\text{ bit/Symbol}$.
•  Aus der Symbolfolge erkennt man, dass zwei Symbole  $\rm A$  ganz selten aufeinanderfolgen.

(9)   Es gelte weiterhin  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.9$. Für welches  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }$  ergibt sich die maximale Entropie?

• Anhand der roten Kurve in der Grafik zu (8) lässt sich bereits das Ergebnis  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }\approx 0.45$  abschätzen.
• Der dazugehörige Entropie–Endwert ist   $H = H_\infty = 0.818\text{ bit/Symbol}$.

(10)   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1.0$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse.

• Die unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm A} = 0.444$  und  $p_{\rm B} = 0.556$  ⇒   $H_1 = 0.991 \ne 1$. Der Entropie–Endwert ist  $H = H_\infty = 0.401\text{ bit/Symbol}$.
•  Aus der Symbolfolge erkennt man, dass das Symbol  $\rm A$  im Gegensatz zum Symbol  $\rm B$  stets isoliert auftritt.

(11)   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse.

• Die unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm A} = 1$  und  $p_{\rm B} = 0$  ⇒   die Symbolfolge besteht nur aus  $\rm A$    ⇒   Entropienäherung  $H_1 = 0 $.
•  Alle weiteren Entropienäherungen $H_k$ und auch der Entropie–Endwert sind ebenfalls Null.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Auswahl:   Gedächtnislose Quelle / Markovquelle

    (B)     Parametereingabe per Slider (Beispiel Markovquelle)

    (C)     Markovdiagramm (falls Markovquelle)

    (D)     Eingabe der Folgenlänge  $N$  zur Berechnung der  $\hat H_k$

    (E)     Ausgabe einer simulierten Symbolfolge

    (F)     Ausgabe des Entropiewertes  $H$

    (G)     Ausgabe der Entropienäherungen  $H_k$

    (H)     Ausgabe der numerisch ermittelten Entropienäherungen  $\hat H_k$

    (I)     Grafikfeld zur Darstellung der Funktion  $H(p_{\rm A})$  bzw.  $H(p_{\rm A}|p_{\rm B})$

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    (K)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    (L)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung

Über die Autoren

Dieses interaktive Applet wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2011 von Eugen Mehlmann im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2019 wurde das Programm von Xiaohan Liu (Bachelorarbeit, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet.

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Open Applet in a new tab