[[File:P_ID2589__KC_Z_3_1.png|right|frame|Zwei Faltungscodes der Rate $1/2$]]
[[File:EN_KC_Z_3_1_jetztaber.png|right|frame|Convolutional codes of rate $1/2$]]
Die Grafik zeigt zwei Faltungscodierer der Rate $R = 1/2$. Am Eingang liegt die Informationssequenz $\underline {u} = (u_1, u_2, \ \text{...} \ , u_i, \ \text{...})$ an. Hieraus werden durch Modulo–2–Operationen die beiden Sequenzen
The graphic shows two convolutional encoders of rate $R = 1/2$:
erzeugt, wobei $x_i^{(j)}$ mit $j = 1$ bzw. $j = 2$ außer von $u_i$ auch von den vorherigen Informationsbits $u_{i-1}, \ \text{...} \ , u_{i-m}$ abhängen kann. Man bezeichnet $m$ als das Gedächtnis und $\nu = m + 1$ als die Einflusslänge des Codes bzw. des Codierers. Die betrachteten Coder $\rm A$ und $\rm B$ unterscheiden sich hinsichtlich dieser Größen.
*From this, modulo-2 operations generate the two sequences
:where $x_i^{(j)}$ with $j = 1$ resp. $j = 2$ may depend except from $u_i$ also from the previous information bits $u_{i-1}, \ \text{...} \ , u_{i-m}$.
*One refers $m$ as the "memory" and $\nu = m + 1$ as the "influence length" of the code $($or of the encoder$)$.
* The considered encoders $\rm A$ and $\rm B$ differ with respect to these quantities.
''Hinweise:''
<u>Hints:</u>
* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung| Grundlagen der Faltungscodierung]].
*The exercise refers to the chapter [[Channel_Coding/Basics_of_Convolutional_Coding| "Basics of Convolutional Coding"]].
*In der Grafik nicht dargestellt ist das Multiplexen der beiden Teilsequenzen $\underline {x}^{(1)}$ und $\underline {x}^{(2)}$ zur resultierenden Codesequenz
*Not shown in the diagram is the multiplexing of the two subsequences $\underline {x}^{(1)}$ and $\underline {x}^{(2)}$ to the resulting code sequence
*In den Teilaufgaben '''(3)''' bis '''(5)''' sollen Sie den jeweiligen Beginn der Sequenze $\underline {x}^{(1)}, \underline{x}^{(2)}$ und $\underline{x}$ ermitteln, wobei von der Informationssequenz $\underline{u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$ auszugehen ist.
*In subtasks '''(3)''' to '''(5)''' you are to determine the start of the sequences $\underline {x}^{(1)}, \underline{x}^{(2)}$ and $\underline{x}$ assuming the information sequence
'''(1)''' Für beide Coder gilt $k = 1$ und $n = 2$. Das Gedächtnis $m$ und die Einflusslänge $\nu$ sind unterschiedlich ⇒ <u>Antworten 3 und 4</u>.
'''(1)''' For both encoders, $k = 1$ and $n = 2$.
*The memory $m$ and the influence length $\nu$ are different ⇒ <u>Answers 3 and 4</u>.
'''(2)''' The shift register of encoder $\rm A$ does contain two memory cells. However, since $x_i^{(1)} = u_i$ and $x_i^{(2)} = u_i + u_{i-1}$ is influenced only by the immediately preceding bit $u_{i-1}$ besides the current information bit $u_i$,
'''(2)''' Das Schieberegister von Coder '''A''' beinhaltet zwar zwei Speicherzellen.
Da aber $x_i^{(1)} = u_i$ ist und $x_i^{(2)} = u_i + u_{i–1}$ außer vom aktuellen Informationsbit $u_i$ nur noch vom unmittelbar vorherigen Bit $u_{i–1}$ beeinflusst wird, ist
*das Gedächtnis $m = 1$, und
*die Einflusslänge $\nu = m + 1 = 2$.
<br clear=all>
Die Grafik zeigt die beiden Coder in anderer Darstellung, wobei die „Gedächtnis–Speicherzellen” gelb hinterlegt sind.
*Beim Coder '''A''' erkennt man nur einen solchen Speicher ⇒ $m = 1$.
*Dagegen gilt für den <u>Coder '''B'''</u> tatsächlich $m = 2$ und $\nu = 3$.
The graphic shows the two encoders in another representation, whereby the "memory cells" are highlighted in yellow.
*For the encoder $\rm A$ one recognizes only one memory ⇒ $m = 1$.
*In contrast, for the encoder $\rm B$ actually $m = 2$ and $\nu = 3$.
'''(3)''' Für den oberen Ausgang von Coder '''B''' gilt allgemein:
*Thus, the <u>proposed solution 2</u> is correct.
'''(3)''' For the upper output of encoder $\rm B$ applies in general:
*The <u>proposed solution 1</u> is correct. The second solution suggestion ⇒ $\underline {x}^{(1)} = \underline {u}$ would only be valid for a systematic code $($which is not present here$)$.
*Der zweite Lösungsvorschlag ⇒ $\underline {x}^{(1)} = \underline {u}$ würde dagegen nur bei einem systematischen Code gelten (der hier nicht vorliegt).
Ein Vergleich mit den Lösungen der Aufgaben (3) und (4) zeigt die Richtigkeit von <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
*A comparison with the solutions of subtasks '''(3)''' and '''(4)''' shows the correctness of the <u>proposed solution 1</u>.
{{ML-Fuß}}
{{ML-Fuß}}
[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^3.1 Grundlagen der Faltungscodierung^]]
[[Category:Channel Coding: Exercises|^3.1 Basics of Convolutional Coding^]]
[[de:Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Faltungscodes der Rate 1/2]]
In subtasks (3) to (5) you are to determine the start of the sequences $\underline {x}^{(1)}, \underline{x}^{(2)}$ and $\underline{x}$ assuming the information sequence
The memory $m$ and the influence length $\nu$ are different ⇒ Answers 3 and 4.
(2) The shift register of encoder $\rm A$ does contain two memory cells. However, since $x_i^{(1)} = u_i$ and $x_i^{(2)} = u_i + u_{i-1}$ is influenced only by the immediately preceding bit $u_{i-1}$ besides the current information bit $u_i$,
Equivalent encoder representations
the memory is $m = 1$, and
the influence length is $\nu = m + 1 = 2$.
The graphic shows the two encoders in another representation, whereby the "memory cells" are highlighted in yellow.
For the encoder $\rm A$ one recognizes only one memory ⇒ $m = 1$.
In contrast, for the encoder $\rm B$ actually $m = 2$ and $\nu = 3$.
Thus, the proposed solution 2 is correct.
(3) For the upper output of encoder $\rm B$ applies in general:
The proposed solution 1 is correct. The second solution suggestion ⇒ $\underline {x}^{(1)} = \underline {u}$ would only be valid for a systematic code $($which is not present here$)$.
