Die Spektralfunktion $Y_{\rm L}(p)$ sei in Pol–Nullstellen–Form gegeben, gekennzeichnet durch
Let the spectral function $Y_{\rm L}(p)$ be given in pole–zero notation characterized by
*$Z$ Nullstellen $p_{{\rm o}i}$,
*$Z$ zeros $p_{{\rm o}i}$,
*$N$ Pole $p_{{\rm x}i}$, sowie
*$N$ poles $p_{{\rm x}i}$, and
*die Konstante $K$.
*the constant $K$.
Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen. Es gelte stets $K= 2$.
In the following, the configurations shown in the diagram are considered. Let always $K= 2$ hold.
Für den Fall, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner als die Anzahl $N$ der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal $y(t)$ durch Anwendung des [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatzes]] direkt ermittelt werden.
In the case that the number $Z$ of zeros is less than the number $N$ of poles, the corresponding time signal $y(t)$ can be determined directly by applying the [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Inverse_Laplace_Transform#Formulation_of_the_residue_theorem|residue theorem]] .
$I$ gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an; bei allen vorgegebenen Konstellationen ist $I = N$.
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Please note:
*The exercise belongs to the chapter [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Inverse_Laplace_Transform|Inverse Laplace Transform]].
*If the time signal $y(t)$ is complex, then $Y_{\rm L}(p)$ cannot be realized as a circuit. However, the application of the residue theorem is still possible.
''Please note:''
*The complex frequency $p$, the zeros $p_{{\rm o}i}$ as well as the poles $p_{{\rm x}i}$ each describe normalized quantities without units in this exercise.
*The exercise belongs to the chapter [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Inverse_Laplace_Transform|Inverse Laplace Transform]].
*Thus, time $t$ is dimensionless, too.
*Ist das Zeitsignal $y(t)$ komplex, so kann $Y_{\rm L}(p)$ nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
*Die komplexe Frequenz $p$, die Nullstellen $p_{{\rm o}i}$ sowie die Pole $p_{{\rm x}i}$ beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.
*Damit ist auch die Zeit $t$ dimensionslos.
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<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz <u>nicht direkt</u> anwenden?
{For which configurations can the residue theorem <u>not be applied directly</u>?
|type="[]"}
|type="[]"}
- Konfiguration $\rm A$,
- Configuration $\rm A$,
+ Konfiguration $\rm B$,
+ Configuration $\rm B$,
- Konfiguration $\rm C$,
- Configuration $\rm C$,
+ Konfiguration $\rm D$,
+ Configuration $\rm D$,
- Konfiguration $\rm E$,
- Configuration $\rm E$,
+ Konfiguration $\rm F$.
+ Configuration $\rm F$.
{Berechnen Sie $y(t)$ für die Konfiguration $\rm A$ mit $K= 2$ und $p_{\rm x} = -1$. Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 1$?
{Compute $y(t)$ for configuration $\rm A$ with $K= 2$ and $p_{\rm x} = -1$. What is the numerical value for time $t = 1$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0.736 3% }
$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0.736 3% }
Line 57:
Line 49:
{Berechnen Sie $y(t)$ für die Konfiguration $\rm C$ mit $K= 2$ und $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$. Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 1$?
{Compute $y(t)$ for configuration $\rm C$ with $K= 2$ and $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$. What numerical value is obtained for time $t = 1$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0. }
$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0. }
Line 63:
Line 55:
{Welcher Signalwert $y(t = 1)$ ergibt sich bei der Konstellation $\rm E$ mit $K= 2$ und zwei Polstellen bei $p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?
{What signal value $y(t = 1)$ is obtained for the constellation $\rm E$ with $K= 2$ and two poles at $p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { -0.357--0.337 }
$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { -0.357--0.337 }
Line 72:
Line 64:
</quiz>
</quiz>
===Musterlösung===
===Solution===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 4 und 6</u>:
'''(1)''' <u>Suggested solutions 2, 4 and 6</u> are correct:
*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss $Z < N$ gelten.
*The prerequisite for the application of the residue theorem is that there are fewer zeros than poles, that is, $Z < N$ must hold.
*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen $\rm B$, $\rm D$ und $\rm F$ nicht gegeben.
*This condition is not met for the configurations $\rm B$, $\rm D$ and $\rm F$.
*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration $\rm B$ mit $p_x = -1$:
*First, a partial fraction decomposition must be made here, for example for configuration $\rm B$ with $p_x = -1$:
*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) dreht.
*Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$. Rechts sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal für $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.
[[File:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png|right|frame|Complex signals at a single complex pole]]
'''(3)''' Using the same procedure as in subtask '''(2)''' the following is obtained:
:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5\pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\hspace{0.05cm} .$$*Due to the second term, it is a complex signal whose phase rotates in the mathematically positive direction (counterclockwise) .*For time $t=1$, the following holds::$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \big [\cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)\big ]= - {\rm j} \cdot 1.638$$:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}\hspace{0.05cm} .$$
*The left graph shows the signal for a pole at $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.
*The right graph shows the conjugate complex signal to it can be seen for $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.
[[File:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png|center|frame|Komplexe Signale bei einem Pol]]
'''(4)''' Nun gilt $I=2$. Die Residien von $p_{x1}$ bzw. $p_{x2}$ liefern:
[[File:P_ID1783__LZI_Z_3_5_d.png|right|frame|Signal curve of configuration $\rm E$]]
:$$y_1(t) =
'''(4)''' Now $I=2$ holds. The residuals of $p_{x1}$ and $p_{x2}$ yield:
Let the spectral function $Y_{\rm L}(p)$ be given in pole–zero notation characterized by
$Z$ zeros $p_{{\rm o}i}$,
$N$ poles $p_{{\rm x}i}$, and
the constant $K$.
In the following, the configurations shown in the diagram are considered. Let always $K= 2$ hold.
In the case that the number $Z$ of zeros is less than the number $N$ of poles, the corresponding time signal $y(t)$ can be determined directly by applying the residue theorem .
If the time signal $y(t)$ is complex, then $Y_{\rm L}(p)$ cannot be realized as a circuit. However, the application of the residue theorem is still possible.
The complex frequency $p$, the zeros $p_{{\rm o}i}$ as well as the poles $p_{{\rm x}i}$ each describe normalized quantities without units in this exercise.
