Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.3: Sum of two Oscillations"

Latest revision as of 15:21, 18 January 2023

Two different Bessel spectra

The equivalent low-pass signal with phase modulation, when normalized to the carrier amplitude $(A_{\rm T} = 1)$ is:

$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$

The modulator constant is assumed to be $K_{\rm PM} = \rm 1/V$ throughout the task.

The upper graph shows the corresponding spectral function $B_1(f)$, when the source signal is

$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$

The weights of the Bessel-Dirac delta lines when $η_1 = 0.9$ are obtained as follows:

$${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm} {\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$

$${\rm J}_2 (0.9) = 0.095 \approx 0.1,\hspace{1cm} {\rm J}_3 (0.9) \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx\ \text{ ...} \ \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

Use the approximations given in the graph to simplify the calculations.

The Bessel function $B_2(f)$ is obtained for the source signal

$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$

The numerical values of the Dirac delta lines are obtained from the following:

$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$

From the graph, it can be seen that due to the cosine source signal $q_2(t)$ and the cosine carrier signal $z(t)$ , the spectral lines at $±3 \ \rm kHz$ are both positive and imaginary.

In the context of this task, we will now investigate the case where the source signal

$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$

is applied to the input of the phase modulator.

It is worth mentioning that $|q(t)| < q_{\rm max} = 1.45 \ \rm V$ .
This maximum value is slightly smaller than the sum $A_1 + A_2$ of the individual amplitudes when a sine and a cosine function with the given amplitudes are added up.

In the following questionnaire,

$S_{\rm TP}(f)$ denotes the spectral function of the equivalent low-pass signal,
$S_+(f)$ denotes the spectral functions of the analytic signal,

in both cases assuming that $q(t) = q_1(t) + q_2(t)$ holds and that the carrier frequency is $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ .

Hints:

This exercise belongs to the chapter Phase Modulation.
Particular reference is made to the page Equivalent low-pass signal in phase modulation.
The values of the Bessel functions can be found in formula collections in table form.
You can also use the interactive applet Bessel functions of the first kind to solve this task.

Questions

	The locus curve is an ellipse.
	The locus curve is a circle.
	The locus curve is approximately a semi-circle.
	The locus curve is an arc, with an approximate opening angle of $90^\circ$.

$f_{\rm min} \ = \ $

$\ \rm kHz$

$f_{\rm max} \ = \ $

$\ \rm kHz$

${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

Solution

(1) The third answer is correct:

In angle modulation, the complex pointer $s_{\rm TP}(t)$ always moves on a circular arc with the following opening angle:

$$2 · K_{\rm PM} · q_{\rm max} = 2 \cdot {\rm 1/V} \cdot 1.45 \ \rm V = 2.9 \ \rm rad \approx 166^\circ.$$

Using the (admittedly very rough) approximation $166^\circ \approx 180^\circ$ we indeed get a semicircle.

(2) In general, $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$ holds.

Since $B_1(f)$ is limited to the frequencies $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$ and $B_2(f)$ is limited to the range $±3 \ \rm kHz$ , the convolution product is limited to $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$ .
It follows that:

$$f_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= -5 \ \rm kHz},$$

$$f_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {=+5 \ \rm kHz}.$$

(3) The convolution product for frequency $f = 0$ results from multiplying $B_1(f)$ with $B_2(f)$ and summing.

Only for $f = 0$ are both $B_1(f)$ and $B_2(f)$ non-zero.
Thus, we get:

$$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Now, before multiplication and summation there needs to be a frequency shift of $B_2(f)$ to the right – or of $B_1(f)$ to the left– by $1 \ \rm kHz$ . This gives:

$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz}) + B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0) = 0.1 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.9\hspace{0.15cm} = 0.36 + {\rm j} \cdot 0.03$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.36} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.03} \hspace{0.05cm}.$$

(5) The Dirac delta line $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$ corresponds to the $S_{\rm TP}(f)$–line at $f = -2 \ \rm kHz$. This is

$$S_{\rm TP}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -2\,{\rm kHz}) \hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0) + B_{1}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -3\,{\rm kHz})= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$

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-{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Phasenmodulation (PM)
+{{quiz-Header|Buchseite=Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)
 }}
 [[File:P_ID1084__Mod_A_3_3.png|right|frame|Two different Bessel spectra]]
-Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet bei Normierung auf die Trägeramplitude&nbsp; $(A_{\rm T} = 1)$:&nbsp;
+The equivalent low-pass signal with phase modulation, when normalized to the carrier amplitude $(A_{\rm T} = 1)$ is:&nbsp;
 :$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$
-Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu &nbsp;$K_{\rm PM} = \rm 1/V$&nbsp; angenommen.
+The modulator constant is assumed to be &nbsp;$K_{\rm PM} = \rm 1/V$&nbsp; throughout the task.
-Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion &nbsp;$B_1(f)$, wenn das Quellensignal
+The upper graph shows the corresponding spectral function &nbsp;$B_1(f)$, when the source signal is
 :$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$
-anliegt.&nbsp; Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit &nbsp;$η_1 = 0.9$&nbsp; wie folgt:
+The weights of the Bessel-Dirac delta lines when &nbsp;$η_1 = 0.9$&nbsp; are obtained as follows:
 :$${\rm J}_0 (0.9)  = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm}
 {\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$
 :$${\rm J}_2 (0.9)  = 0.095 \approx 0.1,\hspace{1cm}
 {\rm J}_3 (0.9)  \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx\ \text{ ...} \  \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte.
+Use the approximations given in the graph to simplify the calculations.
-Die Besselfunktion &nbsp;$B_2(f)$&nbsp; ergibt sich für das Quellensignal
+The Bessel function &nbsp;$B_2(f)$&nbsp; is obtained for the source signal
 :$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$
-Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man hier  aus folgender Angabe:
+The numerical values of the Dirac delta lines are obtained from the following:
 :$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$
-Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals &nbsp;$q_2(t)$&nbsp; und des cosinusförmigen Trägersignals &nbsp;$z(t)$&nbsp; die Spektrallinien bei &nbsp;$±3 \ \rm kHz$&nbsp; jeweils positiv–imaginär sind.
+From the graph, it can be seen that due to the cosine source signal &nbsp;$q_2(t)$&nbsp; and the cosine carrier signal&nbsp;$z(t)$&nbsp;, the spectral lines at&nbsp;$±3 \ \rm kHz$&nbsp; are both positive and imaginary.
-Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal
+In the context of this task, we will now investigate the case where the source signal
 :$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$
-am Eingang des Phasenmodulators anliegt.
+is applied to the input of the phase modulator.
-*Zu erwähnen ist, dass &nbsp;$|q(t)| < q_{\rm max} = 1.45 \ \rm V$&nbsp; gilt.
+*It is worth mentioning that &nbsp;$|q(t)| < q_{\rm max} = 1.45 \ \rm V$&nbsp;.
-*Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe &nbsp;$A_1 + A_2$&nbsp; der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden.
+*This maximum value is slightly smaller than the sum &nbsp;$A_1 + A_2$&nbsp;of the individual amplitudes when a sine and a cosine function with the given amplitudes are added up.
-Im Fragebogen bezeichnen
+In the following questionnaire,
-*$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; die Spektralfunktion des  äquivalenten Tiefpass–Signals,
+*$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; denotes the spectral function of the equivalent low-pass signal,
-*$S_+(f)$&nbsp; die Spektralfunktionen des analytischem Signals,
+*$S_+(f)$&nbsp; denotes the spectral functions of the analytic signal,
-jeweils unter der Annahme, dass &nbsp;$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$&nbsp; anliegt und die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp; beträgt.
+in both cases assuming that &nbsp;$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$&nbsp; holds and that the carrier frequency is&nbsp;$f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp;.
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-''Hinweise:''
+''Hints:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase Modulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
+*Particular reference is made to the page&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)#Equivalent_low-pass_signal_in_phase_modulation|Equivalent low-pass signal in phase modulation]].
-*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.
+*The values of the Bessel functions can be found in formula collections in table form.
-*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art| Besselfunktion erster Art]]&nbsp; benutzen.
+*You can also use the interactive applet &nbsp; [[Applets:Bessel_functions_of_the_first_kind| Bessel functions of the first kind]]&nbsp; to solve this task.
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Es gelte &nbsp;$q(t) = q_1(t)+q_2(t)$.&nbsp; Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$?
+{Let &nbsp;$q(t) = q_1(t)+q_2(t)$.&nbsp; Which geometric figure describes the given locus curve&nbsp;$s_{\rm TP}(t)$?
 |type="()"}
-- Die Ortskurve ist eine Ellipse.
+- The locus curve is an ellipse.
-- Die Ortskurve ist ein Kreis.
+- The locus curve is a circle.
-+ Die Ortskurve ist näherungsweise ein Halbkreis.
++ The locus curve is approximately a semi-circle.
-- Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel &nbsp;$90^\circ$.
+- The locus curve is an arc, with an approximate opening angle of  &nbsp;$90^\circ$.
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$.&nbsp; Zwischen welchen Frequenzen &nbsp;$f_{\rm min}$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm max}$&nbsp; liegen Spektrallinien?
+{Calculate the spectral function&nbsp;$S_{\rm TP}(f)$.&nbsp; Between what frequencies &nbsp;$f_{\rm min}$&nbsp; and &nbsp;$f_{\rm max}$&nbsp; do the spectral lines lie?
 |type="{}"}
 $f_{\rm min} \ = \ $ { -5.15--4.85 } $\ \rm kHz$
 $f_{\rm max} \ = \ ${ 5 3% } $\ \rm kHz$
-{Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei &nbsp;$f = 0$.
+{Calculate the weight of the Dirac function at &nbsp;$f = 0$.
 |type="{}"}
 ${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $ { 0.72 3% }
 ${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $ { 0. }
-{Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei &nbsp;$f = 1\ \rm  kHz$.
+{Calculate the weight of the Dirac function at &nbsp;$f = 1\ \rm  kHz$.
 |type="{}"}
 ${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm  kHz)\big] \ = \ $ { 0.36 3% }
 ${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm  kHz)\big] \ = \ $ { 0.03 3% }
-{Berechnen Sie das Gewicht der &nbsp;$S_+(f)$–Diracfunktion bei &nbsp;$f = 98 \ \rm kHz$.
+{Calculate the weight of the &nbsp;$S_+(f)$–Dirac function at &nbsp;$f = 98 \ \rm kHz$.
 |type="{}"}
 ${\rm Re}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm  kHz)\big] \ = \ $ { 0.09 3% }
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 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>dritte Antwort</u>:
+'''(1)'''&nbsp; The <u>third answer</u> is correct:
-*Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; stets auf einem Kreisbogen mit folgendem Öffnungswinkel:
+*In angle modulation, the complex pointer &nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; always moves on a circular arc with the following opening angle:
 :$$2 · K_{\rm PM} · q_{\rm max} = 2 \cdot  {\rm 1/V} \cdot 1.45 \ \rm V = 2.9 \ \rm rad \approx 166^\circ.$$
-*Mit der (zugegebenermaßen sehr groben) Näherung&nbsp; $166^\circ \approx 180^\circ$&nbsp; ergibt sich tatsächlich ein Halbkreis.
+*Using the (admittedly very rough) approximation&nbsp; $166^\circ \approx 180^\circ$&nbsp; we indeed get a semicircle.
-'''(2)'''&nbsp; Es gilt allgemein&nbsp; $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$.
+'''(2)'''&nbsp; In general, &nbsp; $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$ holds.
-*Da&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; auf Frequenzen&nbsp; $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; auf den Bereich&nbsp; $±3 \ \rm  kHz$&nbsp; begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf&nbsp; $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$&nbsp; beschränkt.
+*Since&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; is limited to the frequencies &nbsp; $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$&nbsp; and&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; is limited to the range &nbsp; $±3 \ \rm  kHz$&nbsp;, the convolution product is limited to&nbsp; $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$&nbsp;.
-*Daraus folgt:
+*It follows that:
 :$$f_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= -5 \ \rm kHz},$$
 :$$f_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {=+5 \ \rm kHz}.$$
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-'''(3)'''&nbsp; Das Faltungsprodukt für die Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ergibt sich durch Multiplikation von&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; mit&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; und anschließender Summation.
+'''(3)'''&nbsp; The convolution product for frequency &nbsp; $f = 0$&nbsp; results from multiplying&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; with&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; and  summing.
-*Nur für&nbsp; $f = 0$&nbsp; sind sowohl&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; als auch&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; von Null verschieden.
+*Only for &nbsp; $f = 0$&nbsp; are both&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; and&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; non-zero.
-*Damit erhält man:
+*Thus, we get:
 :$$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; nach rechts – oder von&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; nach links – um&nbsp; $1 \ \rm kHz$&nbsp; erfolgen.&nbsp; Somit erhält man:
+'''(4)'''&nbsp; Now, before multiplication and summation there needs to be a frequency shift of &nbsp; $B_2(f)$&nbsp; to the right – or of&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; to the left– by &nbsp; $1 \ \rm kHz$&nbsp;.&nbsp; This gives:
 :$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) =  B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz})
   +  B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0)
@@ Line 117: / Line 117: @@
-'''(5)'''&nbsp; Die Diraclinie&nbsp; $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$&nbsp; entspricht der&nbsp; $S_{\rm TP}(f)$–Linie bei&nbsp; $f = -2 \ \rm kHz$.&nbsp; Diese ist
+'''(5)'''&nbsp; The Dirac delta line&nbsp; $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$&nbsp; corresponds to the &nbsp; $S_{\rm TP}(f)$–line at&nbsp; $f = -2 \ \rm kHz$.&nbsp; This is
 :$$S_{\rm TP}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -2\,{\rm kHz}) \hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm}  B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0) +
   B_{1}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -3\,{\rm kHz})= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$