Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.5Z: Probabilities of Default"

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[[File:P_ID87__Sto_Z_1_5.png|right|frame|Functional circuit diagram of a device with two identical parts  $T_1$  and  $T_2$]]
  
  
Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen $B1, B2,, Bn$ aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen angenommen werden kann. Das Teil $T_1$ funktioniert nur dann, wenn alle $n$ Bauteile funktionsfähig sind. Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit $p_A$ ausfallen.
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A sub-device is composed of the components   $B_1, \ B_2,\ \text{...} \ , B_n$  where the respective functionality can be assumed to be independent of all other components.
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*Assume that all components default with equal probability  $p_{\rm B}$.
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*Sub-device  $T_1$  functions only if all  $n$  components are functional.
  
Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert. Das Gerät $G$ kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:
 
$$ G = T_1 \cup T_2 $$
 
  
Das heißt: Das Gerät $G$ ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte ($T_1$ oder $T_2$) funktionsfähig ist.
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To increase reliability,  important assemblies are often duplicated.  The overall device   $G$  can be described in terms of set theory as follows:
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:$$ G = T_1 \cup T_2.$$
  
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This means:   The overall device  $G$  is already operational if at least one of the two identical sub-devices  $(T_1$  or  $T_2)$  is functional.
  
'''Hinweis''': Diese Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.3. Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
 
  
===Fragebogen===
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Hints:
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*The exercise belongs to the chapter  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Statistical_Dependence_and_Independence|Statistical dependence and independence]].
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*The topic of this chapter is illustrated with examples in the   (German language)   learning video
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::[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]   $\Rightarrow$   "Statistical dependence and independence".
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*Explanations:
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#Component  (German:  "Bauteil"   ⇒   subscript "B")
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# Sub-device  (German:  "Teilgerät"   ⇒   subscript "T")
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#Overall device  (German:  "Gesamtgerät"    ⇒   subscript  "G")
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===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Die Ausfallwahrscheinlichkeit $p_G$ des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als 0.04%. Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten $p_T$ der zwei parallel vorhandenen Geräteteile höchstens sein?
+
{The default probability&nbsp; $p_{\rm G}$&nbsp; of the overall device must not be greater than&nbsp; $0.04\%$. <br>How large may then the default probabilities&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; of the two identical sub-devices existing in parallel be at most?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$p_\T,max$ = { 0.02 3% }
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$p_\text{T, max} \ = \ $ { 2 3% } $ \ \%$
  
{Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei $p_A = 0.1$. Jedes Teilgerät bestehe aus $n = 3$ Bauteilen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $p_T$ exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.
+
{Let the default probability of all components be&nbsp; $\underline{p_{\rm B} = 0.1}$.&nbsp; Let each sub-device consist of&nbsp; $n = 3$&nbsp; components. <br>Calculate the probability&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; exactly that a sub-device defaults.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$p_T$ = { 0.271 3% }
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$p_{\rm T} \ = \ $ { 27.1 3% } $ \ \%$
  
{Welcher Wert ergibt sich für $p_A = 0.01$? In welcher Form kann man $p_T$ für kleine Werte von $p_A$ annähern?
+
{What value is obtained for&nbsp; $\underline{p_{\rm B} = 0.01}$?&nbsp; In what form can you approximate&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; for small values of&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp;?
 
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$p_T$ = { 0.0297 3% }
+
$p_{\rm T} \ = \ $ { 2.97 3% } $ \ \%$
  
{Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile $p_A = 0.4%$. Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn $p_T ≤ 2%$ gelten soll?
+
{Now apply&nbsp; $p_{\rm B} = 0.4\%$&nbsp; for the default probability of all components. &nbsp; What is the maximum number of components the sub-device can contain?&nbsp; $p_{\rm T} ≤ 2\%$&nbsp; is to hold.
 
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$n$ = { 5 3% }
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$n \ = \ $ { 5 3% }
  
  
 
</quiz>
 
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===Musterlösung===
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===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:'''a)'''
+
'''(1)'''&nbsp; Since the two sub-devices default independently,&nbsp; set-theoretically holds:
:'''b)'''
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:$${\rm Pr(}G \text{ drops out)} = {\rm Pr(}T_1 \text{ drops out)} \cdot {\rm Pr(}T_2 \text{ drops out)}. $$
:'''c)'''
+
*Moreover,&nbsp; since the sub-devices&nbsp; $T_1$&nbsp;  and&nbsp; $T_2$&nbsp; are identical in construction,&nbsp; they default with the same probability&nbsp; $p_{\rm T}.$&nbsp; It follows that:
:'''d)'''
+
:$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}}  \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$
:'''e)'''
+
 
:'''f)'''
+
 
:'''g)'''
+
'''(2)'''&nbsp; This result is easier to determine using the complementary event:
 +
:$$\rm Pr(\it T_{\rm 1}\hspace{0.1cm}\rm functions) = \rm Pr(\it B_{\rm 1} \hspace{0.1cm}\rm functions \cap \it B_{\rm 2} \hspace{0.1cm} \rm functions \cap \it B_{\rm 3}\hspace{0.1cm} \rm functions).$$
 +
:$$\Rightarrow 1- p_{\rm T}= (1-p_{\rm B})^{3} \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}
 +
1-p_{\rm T}=(0.9)^3= 0.729 \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.271 = 27.1\%}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; With&nbsp; $p_{\rm B} = 0.01$,&nbsp; we obtain&nbsp; $p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.97\%}.$
 +
*In general,&nbsp; the approximation is:&nbsp; $p_{\rm T} \approx n \cdot p_{\rm B}\; (= 3\%)$.
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'''(4)'''&nbsp; With the approximation of the last subtask &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{n = 5}$&nbsp; follows directly.
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*For larger&nbsp; $p_{\rm B}$,&nbsp; one would have to proceed as follows:
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:$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]
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[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises|^1.3 Statistical Dependence/Independence^]]

Latest revision as of 13:26, 1 December 2021

Functional circuit diagram of a device with two identical parts  $T_1$  and  $T_2$


A sub-device is composed of the components   $B_1, \ B_2,\ \text{...} \ , B_n$  where the respective functionality can be assumed to be independent of all other components.

  • Assume that all components default with equal probability  $p_{\rm B}$.
  • Sub-device  $T_1$  functions only if all  $n$  components are functional.


To increase reliability,  important assemblies are often duplicated.  The overall device  $G$  can be described in terms of set theory as follows:

$$ G = T_1 \cup T_2.$$

This means:   The overall device  $G$  is already operational if at least one of the two identical sub-devices  $(T_1$  or  $T_2)$  is functional.



Hints:

  • The topic of this chapter is illustrated with examples in the  (German language)  learning video
Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit   $\Rightarrow$   "Statistical dependence and independence".
  • Explanations:
  1. Component  (German:  "Bauteil"   ⇒   subscript "B")
  2. Sub-device  (German:  "Teilgerät"   ⇒   subscript "T")
  3. Overall device (German: "Gesamtgerät"   ⇒   subscript "G")


Questions

1

The default probability  $p_{\rm G}$  of the overall device must not be greater than  $0.04\%$.
How large may then the default probabilities  $p_{\rm T}$  of the two identical sub-devices existing in parallel be at most?

$p_\text{T, max} \ = \ $

$ \ \%$

2

Let the default probability of all components be  $\underline{p_{\rm B} = 0.1}$.  Let each sub-device consist of  $n = 3$  components.
Calculate the probability  $p_{\rm T}$  exactly that a sub-device defaults.

$p_{\rm T} \ = \ $

$ \ \%$

3

What value is obtained for  $\underline{p_{\rm B} = 0.01}$?  In what form can you approximate  $p_{\rm T}$  for small values of  $p_{\rm B}$ ?

$p_{\rm T} \ = \ $

$ \ \%$

4

Now apply  $p_{\rm B} = 0.4\%$  for the default probability of all components.   What is the maximum number of components the sub-device can contain?  $p_{\rm T} ≤ 2\%$  is to hold.

$n \ = \ $


Solution

(1)  Since the two sub-devices default independently,  set-theoretically holds:

$${\rm Pr(}G \text{ drops out)} = {\rm Pr(}T_1 \text{ drops out)} \cdot {\rm Pr(}T_2 \text{ drops out)}. $$
  • Moreover,  since the sub-devices  $T_1$  and  $T_2$  are identical in construction,  they default with the same probability  $p_{\rm T}.$  It follows that:
$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}} \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$


(2)  This result is easier to determine using the complementary event:

$$\rm Pr(\it T_{\rm 1}\hspace{0.1cm}\rm functions) = \rm Pr(\it B_{\rm 1} \hspace{0.1cm}\rm functions \cap \it B_{\rm 2} \hspace{0.1cm} \rm functions \cap \it B_{\rm 3}\hspace{0.1cm} \rm functions).$$
$$\Rightarrow 1- p_{\rm T}= (1-p_{\rm B})^{3} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 1-p_{\rm T}=(0.9)^3= 0.729 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.271 = 27.1\%}.$$


(3)  With  $p_{\rm B} = 0.01$,  we obtain  $p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.97\%}.$

  • In general,  the approximation is:  $p_{\rm T} \approx n \cdot p_{\rm B}\; (= 3\%)$.


(4)  With the approximation of the last subtask   ⇒   $\underline{n = 5}$  follows directly.

  • For larger  $p_{\rm B}$,  one would have to proceed as follows:
$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$