Aufgaben:Exercise 1.3: Calculating with Complex Numbers

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Zahlen in der komplexen Ebene

Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich

$$z_1 = {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}, $$ $$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}},$$ $$z_3 = -{\rm j} .$$

Im Verlauf dieser Aufgabe werden noch folgende komplexe Größen betrachtet: $$z_4 = z_2^2 + z_3^2,$$ $$z_5 = 1/z_2,$$ $$z_6 = \sqrt{z_3},$$ $$z_7 = {\rm e}^{z_2},$$ $$z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\star}}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen.
• Die Thematik wird auch im Lernvideo Rechnen mit komplexen Zahlen behandelt.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1 Welche der folgenden Gleichungen sind zutreffend?

	[math]\displaystyle{ 2 \cdot z_1 + z_2 =0. }[/math]
	[math]\displaystyle{ z_1^{\ast} \cdot z_2 +2=0. }[/math]
	[math]\displaystyle{ (z_1/z_2) \cdot z_3 }[/math] ist rein reell.

2 Welchen Wert besitzt die Zufallsgröße [math]\displaystyle{ z_4 = z_2^2 + z_3^2 = x_4 + {\rm j} \cdot y_4 }[/math]?

[math]\displaystyle{ x_4 = }[/math]

[math]\displaystyle{ y_4 = }[/math]

3 Berechnen Sie die komplexe Größe [math]\displaystyle{ z_5 = 1/z_2 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5 }[/math].

[math]\displaystyle{ x_5 = }[/math]

[math]\displaystyle{ y_5 = }[/math]

4 [math]\displaystyle{ z_6 }[/math] hat als Quadratwurzel von [math]\displaystyle{ z_3 }[/math] zwei Lösungen, beide mit dem Betrag [math]\displaystyle{ |z_6| = 1 }[/math]. Geben Sie die beiden möglichen Phasenwinkel von [math]\displaystyle{ z_6 }[/math] an.

[math]\displaystyle{ \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 180^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) }[/math] = $\text{Grad}$

[math]\displaystyle{ \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) }[/math] = $\text{Grad}$

5 Berechnen Sie [math]\displaystyle{ z_7 = {\rm e}^{z_2} = x_7 + {\rm j} \cdot y_7 }[/math].

[math]\displaystyle{ x_7 = }[/math]

[math]\displaystyle{ y_7 = }[/math]

6 Geben Sie die komplexe Größe [math]\displaystyle{ z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\ast}} = x_8 + {\rm j}\cdot y_8 }[/math].

[math]\displaystyle{ x_8 = }[/math]

[math]\displaystyle{ y_8 = }[/math]

Musterlösung

Solution

1. Entsprechend den Angaben gilt mit dem Satz von Euler: 

[math]\displaystyle{ 2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2{\rm j}\cdot \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2{\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0. }[/math]

Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da

[math]\displaystyle{ z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 180^{ \circ}}= -2. }[/math]

Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von [math]\displaystyle{ z_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ z_2 }[/math] liefert: 

[math]\displaystyle{ \frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}} = 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 180^{ \circ}}= -0.5. }[/math]

Die Multiplikation mit [math]\displaystyle{ z_3 = -{\rm j} }[/math] führt zum Ergebnis j/2, also zu einer rein imaginären Größe. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2.

2. Das Quadrat von [math]\displaystyle{ z_2 }[/math] hat den Betrag [math]\displaystyle{ |z_2|^{2} }[/math] und die Phase [math]\displaystyle{ 2 \cdot \phi_2 }[/math]: 

[math]\displaystyle{ z_2^2 = 2^2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 270^{ \circ}}= 4 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}=-4 \cdot {\rm j}. }[/math]

Entsprechend gilt für das Quadrat von [math]\displaystyle{ z_3 }[/math]: 

[math]\displaystyle{ z_3^2 = (-{\rm j})^2 = -1. }[/math] Somit ist [math]\displaystyle{ x_4 }[/math] = –1 und [math]\displaystyle{ y_4 }[/math] = –4

3. Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man: 

[math]\displaystyle{ z_5 = \frac{1}{z_2} = \frac{1}{2 \cdot e^{j135^{\circ}}} = 0.5 \cdot e^{-j135^{\circ}} = 0.5 \cdot (cos(-135^{\circ}) + j \cdot sin(-135^{\circ})) }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow x_5 = y_5 = - \frac{\sqrt{2}}{4}= -0.354 }[/math]

4. Die angegeben Beziehung für [math]\displaystyle{ z_6 }[/math] kann wie folgt umgeformt werden: 

[math]\displaystyle{ z_6^2 = z_3 = e^{-90^{\circ}} }[/math]

Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für [math]\displaystyle{ z_6 }[/math] gibt, die diese Gleichung erfüllen: 

[math]\displaystyle{ z_6(1.Loesung) = \frac{z_2}{2}= 1 \cdot e^{j135^{\circ}} \Rightarrow \phi_6 = 135^{\circ} }[/math]

[math]\displaystyle{ z_6(2.Loesung) = z_1= 1 \cdot e^{-j45^{\circ}} \Rightarrow \phi_6 = -45^{\circ} }[/math]

5. Die komplexe Größe [math]\displaystyle{ z_2 }[/math] lautet in Realteil/imaginärteildarstellung: 

[math]\displaystyle{ z_2 = x_2 + j \cdot y_2 = -\sqrt{2} + j \cdot \sqrt{2} }[/math]

Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion:

[math]\displaystyle{ z_7 = e^{-\sqrt{2}+j \cdot \sqrt{2}} = e^{-\sqrt{2}} \cdot (cos(\sqrt{2} + j \cdot sin(\sqrt{2}) }[/math]

Mit

[math]\displaystyle{ e^{-\sqrt{2}} = 0.243, \quad cos(\sqrt{2}) = 0.156, \quad sin(\sqrt{2}) = 0.988 }[/math]

erhält man somit: 

[math]\displaystyle{ z_7 = 0.243 \cdot (0.156 + j \cdot 0.988) = 0.038 + j \cdot 0.24 }[/math]

6. Ausgehend vom Ergebnis 4. erhält man für [math]\displaystyle{ z_8 }[/math]: 

[math]\displaystyle{ z_8 = e^{-\sqrt{2}} \cdot (cos(\sqrt{2}) + j \cdot sin(\sqrt{2}) + cos(\sqrt{2}) - j \cdot (\sqrt{2})) }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \cdot e^{-\sqrt{2}} \cdot cos(\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow x_8 = 0.076, \quad y_8 =0 }[/math]