Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.3: Calculating with Complex Numbers"

Revision as of 14:05, 13 January 2017

Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich

$$z_1 = {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}, $$ $$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}},$$ $$z_3 = -{\rm j} .$$

Im Verlauf dieser Aufgabe werden noch folgende komplexe Größen betrachtet: $$z_4 = z_2^2 + z_3^2,$$ $$z_5 = 1/z_2,$$ $$z_6 = \sqrt{z_3},$$ $$z_7 = {\rm e}^{z_2},$$ $$z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\star}}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen.
Die Thematik wird auch im Lernvideo Rechnen mit komplexen Zahlen behandelt.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	$2 \cdot z_1 + z_2 =0.$
	$z_1^{\ast} \cdot z_2 +2=0.$
	$(z_1/z_2) \cdot z_3$ ist rein reell.

$ x_4 = $

$ y_4 = $

$ x_5 = $

$ y_5 = $

$ \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 180^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) $ =

$\text{Grad}$

$ \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) $ =

$\text{Grad}$

$ x_7 = $

$ y_7 = $

$ x_8 = $

$ y_8 = $

Musterlösung

Solution

1. Entsprechend den Angaben gilt mit dem Satz von Euler:

$2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2{\rm j}\cdot \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2{\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.$

Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da

$z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 180^{ \circ}}= -2.$

Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von $z_1$ und $z_2$ liefert:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}} = 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 180^{ \circ}}= -0.5.$

Die Multiplikation mit $z_3 = -{\rm j} $ führt zum Ergebnis j/2, also zu einer rein imaginären Größe. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2.

2. Das Quadrat von $z_2$ hat den Betrag $|z_2|^{2}$ und die Phase $2 \cdot \phi_2$:

$z_2^2 = 2^2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 270^{ \circ}}= 4 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}=-4 \cdot {\rm j}.$

Entsprechend gilt für das Quadrat von $z_3$:

$z_3^2 = (-{\rm j})^2 = -1.$ Somit ist $x_4 =\underline{ –1}$ und $y_4 = \underline{–4}.$

3. Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man:

$z_5 = {1}/{z_2} = \frac{1}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}}= 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 135^{ \circ}} = 0.5 \cdot \left( \cos (- 135^{ \circ}) + {\rm j} \cdot \sin (- 135^{ \circ})\right)$ $\Rightarrow x_5 = - {\sqrt{2}}/{4}\underline{= -0.354},\hspace{0.5cm} y_5 = x_5 \underline{= -0.354}.$

4. Die angegeben Beziehung für $z_6$ kann wie folgt umgeformt werden: $z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}.$

Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für $z_6$ gibt, die diese Gleichung erfüllen:

$z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (1.\hspace{0.1cm} L\ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = \frac{z_2}{2} = 1 \cdot {\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{= 135^{ \circ}}, $

$z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (2.\hspace{0.1cm} L \ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = {z_1} = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{=-45^{ \circ}}.$

5. Die komplexe Größe $z_2$ lautet in Realteil/imaginärteildarstellung:

$z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = -\sqrt{2} + {\rm j} \cdot\sqrt{2}.$

Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion\[z_7 = {\rm e}^{-\sqrt{2} + {\rm j}\cdot \sqrt{2}}= {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \left( \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\right).\]

Mit ${\rm e}^{-\sqrt{2} } = 0.243, \hspace{0.2cm} \cos (\sqrt{2}) = 0.156, \hspace{0.2cm} \sin (\sqrt{2}) = 0.988$ erhält man somit:

$z_7 = 0.243 \cdot \left( 0.156 + {\rm j} \cdot 0.988\right) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.038 + {\rm j} \cdot 0.24}.$

6. Ausgehend vom Ergebnis der Teilaufgabe (4) erhält man für $z_8$:

$z_8 = {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \left( \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2}) + \cos (\sqrt{2}) - {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\right) = 2 \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \cos (\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 $

$\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} x_8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.076}, \hspace{0.1cm}y_8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Entsprechend den Angaben gilt mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_PhaseSatz von Euler]]:&nbsp;
+'''1.''' Entsprechend den Angaben gilt mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]:&nbsp;
 <math>2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2{\rm j}\cdot \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2{\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.</math>
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-'''4.''' Die angegeben Beziehung für <math>z_6</math> kann wie folgt umgeformt werden:&nbsp;
+'''4.''' Die angegeben Beziehung für <math>z_6</math> kann wie folgt umgeformt werden:&nbsp; <math>z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}.</math>
-<math>z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}.</math>
 Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für <math>z_6</math> gibt, die diese Gleichung erfüllen:&nbsp;
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   \circ}}, </math>
-<math>\\z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (2.\hspace{0.1cm} L \ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} =& {z_1} = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}
+<math>z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (2.\hspace{0.1cm} L \ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = {z_1} = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}
   \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6  \hspace{0.15cm}\underline{=-45^{
   \circ}}.</math>
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 '''5.''' Die komplexe Größe <math>z_2</math> lautet in Realteil/imaginärteildarstellung:&nbsp;
-<math>z_2 = x_2 + j \cdot y_2 = -\sqrt{2} + j \cdot \sqrt{2}</math>
+<math>z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = -\sqrt{2} + {\rm j} \cdot\sqrt{2}.</math>
 Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion:
-<math>z_7 = e^{-\sqrt{2}+j \cdot \sqrt{2}} = e^{-\sqrt{2}} \cdot (cos(\sqrt{2} + j \cdot sin(\sqrt{2})</math>
+<math>z_7 =  {\rm e}^{-\sqrt{2} + {\rm j}\cdot \sqrt{2}}= {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \left( \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\right).</math>
-Mit
-<math>e^{-\sqrt{2}} = 0.243, \quad cos(\sqrt{2}) = 0.156, \quad sin(\sqrt{2}) = 0.988</math>
-erhält man somit:&nbsp;
-<math>z_7 = 0.243 \cdot (0.156 + j \cdot 0.988) = 0.038 + j \cdot 0.24</math>
+Mit <math>{\rm e}^{-\sqrt{2} } = 0.243, \hspace{0.2cm}  \cos (\sqrt{2}) = 0.156, \hspace{0.2cm} \sin (\sqrt{2}) = 0.988</math> erhält man somit:&nbsp;
+<math>z_7 = 0.243 \cdot \left( 0.156 + {\rm j} \cdot 0.988\right) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.038 + {\rm j} \cdot 0.24}.</math>
-'''6.''' Ausgehend vom Ergebnis 4. erhält man für <math>z_8</math>:&nbsp;
-<math>z_8 = e^{-\sqrt{2}} \cdot (cos(\sqrt{2}) + j \cdot sin(\sqrt{2}) + cos(\sqrt{2}) - j \cdot (\sqrt{2}))</math>
+'''6.''' Ausgehend vom Ergebnis der Teilaufgabe (4) erhält man für <math>z_8</math>:&nbsp;
-<math>2 \cdot e^{-\sqrt{2}} \cdot cos(\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7</math>
+<math>z_8 = {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \left( \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2}) + \cos (\sqrt{2}) - {\rm j} \cdot \sin
+ (\sqrt{2})\right)
+ = 2 \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \cos (\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 </math>
-<math>\Rightarrow x_8 = 0.076, \quad y_8 =0</math>
+<math>\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} x_8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.076}, \hspace{0.1cm}y_8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.</math>
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^1. Grundbegriffe der Nachrichtentechnik^]]

	\(2 \cdot z_1 + z_2 =0.\)
	\(z_1^{\ast} \cdot z_2 +2=0.\)
	\((z_1/z_2) \cdot z_3\) ist rein reell.