Aufgaben:Exercise 2.2: DC Component of Signals

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Rechtecksignale mit und ohne Gleichanteil

Die Grafik zeigt einige Zeitsignale, die für alle Zeiten (von $-\infty$ bis $+\infty$) definiert sind. Bei allen sechs Beispielsignalen $x_i(t)$ kann für die zugehörige Spektralfunktion geschrieben werden:

$$X_i(f)=A_0\cdot{\rm \delta}(f)+\Delta X_i(f).$$

Hierbei bezeichnen

• $A_0$ den Gleichsignalanteil, und
• $\Delta X_i(f)$ das Spektrum des um den Gleichanteil verminderten Restsignals $\Delta x_i(t) = x_i(t) - A_0$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1 Welche der Signale beinhalten einen Gleichanteil, das heißt, bei welchen Signalen ist $A_0 \neq 0$?

	Signal $x_1(t),$
	Signal $x_2(t),$
	Signal $x_3(t),$
	Signal $x_4(t),$
	Signal $x_5(t),$
	Signal $x_6(t).$

2 Bei welchen der Signale gilt für das „Restspektrum” $\Delta X_i(f) =0$?

	Signal $x_1(t),$
	Signal $x_2(t),$
	Signal $x_3(t),$
	Signal $x_4(t),$
	Signal $x_5(t),$
	Signal $x_6(t).$

3 Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $x_3(t)$?

$x_3(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0$ = ${\rm V}$

4 Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $x_3(t)$?

$x_3(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0$ = V

5 Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $x_4(t)$?

$x_4(t):A_0$ = V

6 Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $x_6(t)$?

$x_6(t):A_0$ = V

Musterlösung zu "A1.1 Musiksignale"

Solution

1. Alle Signale mit Ausnahme von $x_2(t)$ beinhalten einen Gleichsignalanteil ⇒ Richtig sind somit die Antworten 1, 3, 4, 5 und 6.

2. Subtrahiert man vom Signal $x_5(t)$ den Gleichanteil 1V, so ist das Restsignal $\Delta x_5(t) = x5(t) – 1\text{V}$ gleich Null. Dementspechend ist auch die Spektralfunktion $\Delta X_5(f) = 0$. Bei allen anderen Zeitverläufen ist $\Delta x_i(t)$ ungleich 0 und damit auch die dazugehörige Spektralfunktion $\Delta X_i(f)$ ⇒ Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 5.

3. Bei einem periodischen Signal genügt zur Berechnung des Gleichsignalanteils die Mittelung über eine Periode (hier: 3 ms). Damit ergibt sich der Gleichanteil zu

$$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}(1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms) \hspace{0.15cm}\underline{=-0.333\,V}.$$

4. Für das Signal x4(t) kann geschrieben werden: x4(t) = 0.5 V + Δx4(t). Hierbei bezeichnet Δx4(t) einen Rechteckimpuls der Amplitude 0.5 V und der Dauer 4 ms, der aufgrund seiner endlichen Dauer nicht zum Gleichsignalanteil beiträgt. Deshalb gilt hier A0 = 0.5 V.

5. Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Gleichsignalanteils lautet:

$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$

Spaltet man dieses Integral in zwei Teilintegrale auf, so erhält man:

$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{T_{\rm M}/2}1 \rm V\cdot\, {\rm d }{\it t }.$$

Nur der zweite Term liefert einen Beitrag. Daraus folgt wiederum $$A_0 = 0.5 V$$.