Aufgaben:Exercise 3.2Z: Sinc-Squared Spectrum with Diracs

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Das skizzierte Spektrum ${X(f)}$ eines Zeitsignals ${x(t)}$ setzt sich zusammen aus

• einem kontinuierlichen Anteil $X_1(f)$,

• dazu drei diracförmigen Spektrallinien.

Der kontinuierliche Anteil lautet mit $f_0 = 200\, \text{kHz}$ und $X_0 = 10^{–5} \text{V/Hz}$:

$$X_1( f ) = X_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$

Die Spektrallinie bei $f = 0$ hat das Gewicht $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$. Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht $0.5\,\text{V}$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fouriertransformation und -rücktransformation.
• Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo Unterschiede und Gemeinsamkeiten von kontinuierlichen und diskreten Spektren.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um $t = 0$ symmetrischer Dreieckimpuls $\text{y(t)}$ mit der Amplitude ${A}$ und der absoluten Dauer $2T$ (das heißt: die Signalwerte sind nur zwischen $–T$ und $+T$ ungleich $0$) folgende Spektralfunktion besitzt:

$$Y( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ).$$

Fragebogen

1

Welche Werte besitzen die Parameter ${A}$ (Amplitude) und ${T}$ (einseitige Dauer) des dreieckförmigen Signalanteils $x_1(t)$?

$A$  =  $\text{V}$

$T$  =  $\text{$\mu$s}$

2

Wie groß ist der Gleichsignalanteil ${B}$ des Signals?

$B$  =  $\text{V}$

3

Wie groß ist die Amplitude $C$ des periodischen Anteils von x(t)?

$C$  =  $\text{V}$

4

Wie groß sind der Maximalwert und der Minimalwert des Signals $\text{x(t)}$?

$x_\text{max}$  =  $\text{V}$

$x_\text{min}$  =  $\text{V}$

Musterlösung

Solution

1. Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt $T = 1/f_0 = 5 \,{\rm \mu s}$. Der Spektralwert $X_0 = X_1(f = 0)$ gibt die Impulsfläche von $x_1(t)$ an. Diese ist gleich ${A} \cdot {T}$. Daraus folgt:

$$A = \frac{X_0 }{T} = \frac{ 10^{-5}\rm V/Hz }{5 \cdot 10^{-6}{\rm s}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2\;{\rm V}}.$$

2. Der Gleichsignalanteil ist durch das Diracgewicht bei der Frequenz $f = 0$ gegeben. Man erhält ${B} \hspace{0.15 cm}\underline{= –\hspace{-0.08 cm}1 \,\text{V}}$.

3. Die beiden Spektrallinien bei $\pm f_0$ ergeben zusammen ein Cosinussignal mit der Amplitude ${C} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \text{V}}$.

4. Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt ${t} = 0$ auf (hier sind Dreieckimpuls und Cosinussignal maximal): $$x_{\text{max}} = A + B + C \hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \text{V}}.$$

Die minimalen Werte von ${x(t)}$ ergeben sich dann, wenn der Dreieckimpuls abgeklungen ist und die Cosinusfunktion den Wert $–\hspace{-0.08 cm}1 \,\text{V}$ liefert: $$x_\text{min} = {B} – {C}\hspace{0.15 cm}\underline{ = \hspace{0.08 cm}–\hspace{-0.08 cm}2\, \text{V}}.$$