Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.9Z: Convolution of Gaussian Pulses"
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{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$ des Ausgangssignals. Wie groß ist der Spektralwert bei $f = 0$? | {Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$ des Ausgangssignals. Wie groß ist der Spektralwert bei $f = 0$? | ||
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{Berechnen Sie den Ausgangsimpuls ${y(t)}$. Welche Werte ergeben sich für die Amplitude $y_0 = y(t = 0)$ und die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_y$? | {Berechnen Sie den Ausgangsimpuls ${y(t)}$. Welche Werte ergeben sich für die Amplitude $y_0 = y(t = 0)$ und die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_y$? | ||
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'''1.''' Durch Fouriertransformation erhält man: | '''1.''' Durch Fouriertransformation erhält man: | ||
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| − | + | Die gesuchten Werte sind $X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}}$ und $H(f = 0)\; \underline{= 1}$. | |
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'''2.''' Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich: | '''2.''' Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich: | ||
:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$ | :$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$ | ||
| − | Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5 \text{ms}$ kann hierfür auch geschrieben werden: | + | Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$ kann hierfür auch geschrieben werden: |
:$$Y(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 } .$$ | :$$Y(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 } .$$ | ||
| − | Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt $ | + | Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt $Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{mV/Hz}}$. Der Funktionsverlauf von ${Y(f)}$ ist schmaler als ${X(f)}$ und auch schmaler als ${H(f)}$. |
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'''3.''' Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz: | '''3.''' Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz: | ||
:$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$ | :$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$ | ||
Damit erhält man: | Damit erhält man: | ||
:$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0 \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$ | :$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0 \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$ | ||
| − | Der Maximalwert des Signals $ | + | *Der Maximalwert des Signals ${y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \underline{= 0.8 V}$. |
| + | *Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \underline{= 5 \text{ms}}$ (siehe obiges Bild, rechte Skizze). | ||
| + | *Das bedeutet: Das Gaußfilter ${H(f)}$ bewirkt, dass der Ausgangsimpuls ${y(t)}$ kleiner und breiter als der Eingangsimpuls ${x(t)}$ ist. | ||
| + | *Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig. | ||
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Revision as of 17:00, 18 January 2017
Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten einen gaußförmigen Eingangsimpuls ${x(t)}$ mit der Amplitude $x_0 = 1\,\text{ V}$ und der äquivalenten Dauer $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$ sowie eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$ aufweist:
- $$x( t ) = x_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$
- $$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$
Gesucht ist das Ausgangssignal ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Faltungssatz und Faltungsoperation.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
1. Durch Fouriertransformation erhält man:
- $$X( f ) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x \cdot f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h \cdot f} \right)^2 } .$$
Die gesuchten Werte sind $X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}}$ und $H(f = 0)\; \underline{= 1}$.
2. Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:
- $$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$
Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$ kann hierfür auch geschrieben werden:
- $$Y(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 } .$$
Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt $Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{mV/Hz}}$. Der Funktionsverlauf von ${Y(f)}$ ist schmaler als ${X(f)}$ und auch schmaler als ${H(f)}$.
3. Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:
- $${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
Damit erhält man:
- $$y(t) = x(t) * h(t) = x_0 \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
- Der Maximalwert des Signals ${y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \underline{= 0.8 V}$.
- Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \underline{= 5 \text{ms}}$ (siehe obiges Bild, rechte Skizze).
- Das bedeutet: Das Gaußfilter ${H(f)}$ bewirkt, dass der Ausgangsimpuls ${y(t)}$ kleiner und breiter als der Eingangsimpuls ${x(t)}$ ist.
- Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig.
