Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.6Z: Locality Curve for Phase Modulation"

Revision as of 16:46, 22 January 2017

Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = –0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.

Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:

$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$

Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).

Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal

$$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$

Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente TP-Signal wie folgt berechnen:

$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Sie können Ihre Lösung mit dem folgenden Interaktionsmodul überprüfen:

Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals

Fragebogen

$a(t = 0)$ =

$\phi_{\rm min}$ =

$\text{Grad}$

$\phi_{\rm min}$ =

$\text{Grad}$

$\eta$ =

	Aus $q(t) = –0.5 = \text{const}$. folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$.
	Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ (⇒ nur zwei mögliche Signalwerte $\pm 0.5$) entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
	Mit den Signalwerten $\pm 1$ (⇒ es gilt dann nicht $q_{\rm min} = –\hspace{-0.08cm}0.5$) entartet die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{\rm TP}(t) = –\hspace{-0.08cm}s_0$.

Musterlösung

Solution

1. Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit Radius $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion $a(t)$ konstant gleich 2.

2. Aus der Grafik ist zu erkennen, dass folgende Zahlenwerte gelten:

$\phi_{min} = –\hspace{-0.08cm} \pi /2 \; \Rightarrow \; \underline{–90^\circ}$,
$\phi_{max} +\pi \; \Rightarrow \; \underline{+180^\circ}$.

3. Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:

$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$

Der maximale Phasenwert $\phi_{max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$. Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = –\pi /2$ und $q_{\rm min} = –0.5$ bestätigt.

Ortskurve (Phasendiagramm) bei Rechtecksignal

4. Ist $q(t) = \text{const.} =\hspace{0.1cm} –\hspace{-0.05cm}0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:

$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - \frac{\pi}{2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$

Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:

$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - {\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$

Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$. ⇒ Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, besteht somit die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.

Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $–\pi$, die aber identisch sind. Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{TP}(t) = \hspace{0.1cm}– s_0 \Rightarrow$ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.

Richtig sind somit der zweite und der dritte Lösungsvorschlag.

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 ===Musterlösung===
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-'''1.'''  Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit Radius 2. Deshalb ist die Betragsfunktion <u>$a(t)$ konstant gleich 2</u>.
+'''1.'''  Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit Radius $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion <u>$a(t)$ konstant gleich 2</u>.
-'''2.'''  Aus der Grafik ist zu erkennen, dass $\phi_{min} \underline{= –\pi /2 (–90°)}$ und $\phi_{max} \underline{= +\pi (180°)}$ ist.
+'''2.'''  Aus der Grafik ist zu erkennen, dass folgende Zahlenwerte gelten:
+*$\phi_{min} = –\hspace{-0.08cm}  \pi /2 \;   \Rightarrow  \;  \underline{–90^\circ}$,
+*$\phi_{max}  +\pi \; \Rightarrow  \; \underline{+180^\circ}$.
-'''3.'''  Allgemein gilt folgender Zusammenhang:
-:$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}
+'''3.'''  Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}
-\phi(t)}.$$
+\phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:
-Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:
 :$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$
-Der maximale Phasenwert $\phi_{max} = \pi (180°)$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{max} = 1$. Daraus folgt direkt $\underline{\eta = \pi}$. Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{min} = –\pi /2$ und $q_{min} = –0.5$ bestätigt.
+Der maximale Phasenwert $\phi_{max} = +\pi \; \Rightarrow  \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$. Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = –\pi /2$ und $q_{\rm min} = –0.5$ bestätigt.
-'''4.'''  Ist $q(t) = \text{const.} = –0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
+[[File:P_ID769__Sig_Z_4_6_d_neu.png|right|Ortskurve (Phasendiagramm) bei Rechtecksignal]]
+'''4.'''  Ist $q(t) = \text{const.} =\hspace{0.1cm} –\hspace{-0.05cm}0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
 :$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - \frac{\pi}{2}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0  = - 2{\rm j}.$$
 Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:
 :$$s(t) = s_0 \cdot  {\cos} (  \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t -
-  \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot  {\sin} (  \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$
+  {\pi}/{2}) = 2 \cdot  {\sin} (  \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$
-[[File:P_ID769__Sig_Z_4_6_d_neu.png|right|]]
-Dagegen führt $q(t) = 0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und $s_{TP}(t) = 2j$. Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, besteht somit die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
+Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
+&rArr;&nbsp; Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, besteht somit die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
-Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $–\pi$, die aber identisch sind. Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{TP}(t) = – s_0  \Rightarrow$  das Signal $s(t)$ ist „minus-cosinusförmig”.
+Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $–\pi$, die aber identisch sind. Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{TP}(t) = \hspace{0.1cm}– s_0  \Rightarrow$  das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$  „minus-cosinusförmig”.
-Richtig sind der <u>zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>.
+Richtig sind somit der <u>zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>.
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