Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.7Z: Overall Systems Analysis"
Line 15: | Line 15: | ||
Das Eingangssignal $w(t)$ des Gesamtsystems sei ein Gaußimpuls mit Amplitude $5 \ \rm V = const. $ und variabler Breite $T$: | Das Eingangssignal $w(t)$ des Gesamtsystems sei ein Gaußimpuls mit Amplitude $5 \ \rm V = const. $ und variabler Breite $T$: | ||
$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi(t/T)^2}.$$ | $$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi(t/T)^2}.$$ | ||
− | Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den | + | Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzgang |
$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$ | $$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$ | ||
vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite bezieht sich jeweils auf „Gesamtsystem”. | vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite bezieht sich jeweils auf „Gesamtsystem”. | ||
Line 43: | Line 43: | ||
{Geben Sie die Parameter des Gesamtfrequenzgangs $H_{\rm G}(f)$ an. | {Geben Sie die Parameter des Gesamtfrequenzgangs $H_{\rm G}(f)$ an. | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $K \=$ { 2 3% } | + | $K \ =$ { 2 3% } |
$\Delta f_{\rm G} =$ { 2 3% } $\ \rm kHz$ | $\Delta f_{\rm G} =$ { 2 3% } $\ \rm kHz$ | ||
Line 50: | Line 50: | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | + | '''(1)''' Die erste Aussage ist zutreffend: Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden. Damit dies hier möglich ist, darf die Nichtlinearität keine Rolle spielen. Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass $|x(t)|$ nicht größer als $4 \ \rm V$ ist. | |
− | + | Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend. Die Bandbreite von $H_3(f)$ hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht. Richtig sind also die <u>Antworten1 und 3</u>. | |
− | + | '''(2)''' Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben: | |
$$\begin{align*}X(f) & = W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2}\\ & = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.\end{align*}$$ | $$\begin{align*}X(f) & = W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2}\\ & = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.\end{align*}$$ | ||
− | :Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$. Der Signalwert bei $t =$ | + | :Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$. Der Signalwert bei $t = 0$ – gleichzeitig der Maximalwert des Signals – ist gleich der Spektralfläche; dieser soll nicht größer werden als $4 \ \rm V$: |
$$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$ | $$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$ | ||
− | + | Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich: | |
$$\begin{align*}\frac{1}{T \cdot \Delta f_x} > \frac{5}{4}\hspace{0.1cm} & \Rightarrow \hspace{0.1cm} \frac{1}{T^2 \cdot \Delta f_x^2} > \frac{25}{16}\hspace{0.3cm} | $$\begin{align*}\frac{1}{T \cdot \Delta f_x} > \frac{5}{4}\hspace{0.1cm} & \Rightarrow \hspace{0.1cm} \frac{1}{T^2 \cdot \Delta f_x^2} > \frac{25}{16}\hspace{0.3cm} | ||
\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{T^2 + \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{25}{16}\\ | \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{T^2 + \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{25}{16}\\ | ||
Line 66: | Line 66: | ||
\Delta t_1^2} \le \frac{16}{9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow | \Delta t_1^2} \le \frac{16}{9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow | ||
\hspace{0.3cm} T \le \frac{4}{3} \cdot \Delta t_1 \hspace{0.15cm}\underline{= {0.4\,\rm ms}}.\end{align*}$$ | \hspace{0.3cm} T \le \frac{4}{3} \cdot \Delta t_1 \hspace{0.15cm}\underline{= {0.4\,\rm ms}}.\end{align*}$$ | ||
− | + | Die Kontrollrechnung ergibt: | |
− | $$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = | + | $$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = {1}/{\Delta t_x}= {2\,\rm kHz}\\$$ |
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t=0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x = {5\,\rm V}\cdot {0.4\,\rm ms} \cdot {2\,\rm kHz} = {4\,\rm V}.$$ | $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t=0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x = {5\,\rm V}\cdot {0.4\,\rm ms} \cdot {2\,\rm kHz} = {4\,\rm V}.$$ | ||
− | + | '''(3)''' Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$. Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung: $\underline{K \ = \ 2}$. | |
− | + | ||
− | + | Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt: | |
$$\Delta t_{\rm G} = \sqrt{\Delta t_1^2 + \frac{1}{\Delta f_3^2}} = \sqrt{({0.3\,\rm ms})^2 + \left( \frac{1}{{2.5\,\rm | $$\Delta t_{\rm G} = \sqrt{\Delta t_1^2 + \frac{1}{\Delta f_3^2}} = \sqrt{({0.3\,\rm ms})^2 + \left( \frac{1}{{2.5\,\rm | ||
− | kHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms} | + | kHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms} \; \; \Rightarrow \; \; \Delta f_{\rm G} = {1}/{\Delta t_{\rm G}} \hspace{0.15cm}\underline{= {2\,\rm kHz}}.$$ |
− | |||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} |
Revision as of 11:23, 30 January 2017
Ein Gesamtsystem $G$ mit Eingang $w(t)$ und Ausgang $z(t)$ besteht aus drei Komponenten:
- Die erste Komponente ist ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort
- $$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi(t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta t_1= {0.3\,\rm ms}.$$
- Danach folgt eine Nichtlinearität mit der Kennlinie
- $$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} {8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t) \\ {-8\,\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge {4\,\rm V}}, \\ {{-4\,\rm V} < x(t) < {4\,\rm V}}, \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}. \\ \end{array}$$
- ⇒ Das Eingangssignal $x(t)$ der Nichtlinearität wird um den Faktor $2$ verstärkt und – falls nötig – auf den Amplitudenbereich $±8 \ \rm V$ begrenzt.
- Am Ende der Kette folgt wieder ein Gaußtiefpass, der durch seinen Frequenzgang gegeben ist:
- $$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$
Das Eingangssignal $w(t)$ des Gesamtsystems sei ein Gaußimpuls mit Amplitude $5 \ \rm V = const. $ und variabler Breite $T$:
$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi(t/T)^2}.$$
Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzgang
$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$
vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite bezieht sich jeweils auf „Gesamtsystem”.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört bezieht sich auf die Seite Gaußtiefpass .
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend. Die Bandbreite von $H_3(f)$ hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht. Richtig sind also die Antworten1 und 3.
(2) Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben:
$$\begin{align*}X(f) & = W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2}\\ & = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.\end{align*}$$
- Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$. Der Signalwert bei $t = 0$ – gleichzeitig der Maximalwert des Signals – ist gleich der Spektralfläche; dieser soll nicht größer werden als $4 \ \rm V$:
$$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$ Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich: $$\begin{align*}\frac{1}{T \cdot \Delta f_x} > \frac{5}{4}\hspace{0.1cm} & \Rightarrow \hspace{0.1cm} \frac{1}{T^2 \cdot \Delta f_x^2} > \frac{25}{16}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{T^2 + \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{25}{16}\\ & \Rightarrow \hspace{0.1cm}\frac{ \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{9}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\frac{T^2}{ \Delta t_1^2} \le \frac{16}{9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} T \le \frac{4}{3} \cdot \Delta t_1 \hspace{0.15cm}\underline{= {0.4\,\rm ms}}.\end{align*}$$ Die Kontrollrechnung ergibt: $$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = {1}/{\Delta t_x}= {2\,\rm kHz}\\$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t=0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x = {5\,\rm V}\cdot {0.4\,\rm ms} \cdot {2\,\rm kHz} = {4\,\rm V}.$$
(3) Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$. Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung: $\underline{K \ = \ 2}$.
Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt: $$\Delta t_{\rm G} = \sqrt{\Delta t_1^2 + \frac{1}{\Delta f_3^2}} = \sqrt{({0.3\,\rm ms})^2 + \left( \frac{1}{{2.5\,\rm kHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms} \; \; \Rightarrow \; \; \Delta f_{\rm G} = {1}/{\Delta t_{\rm G}} \hspace{0.15cm}\underline{= {2\,\rm kHz}}.$$