Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.2: Triangular PDF"
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\frac{1}{4}\right ] \hspace{0.05cm}.$$ | \frac{1}{4}\right ] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
− | |||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | { | + | {Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße <i>X</i> in „nat”. |
− | |type=" | + | |type="{}"} |
− | + | $h(X)$ = { 0.193 3% } | |
− | |||
− | { | + | {Welches Ergebnis erhält man mit der Pseudoeinheit „bit”? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $h(X)$ = { 0.279 3% } |
+ | {Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße <i>Y</i>. | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $h(Y)$ = { 0.721 3% } | ||
+ | |||
+ | {Bestimmen Sie den WDF–Parameter <i>A</i>, so dass <i>h</i>(<i>Z</i>) = <i>h</i>(<i>A</i> · <i>Y</i>) = 1 bit gilt. | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $ h(Z) = 1 bit: A$ = { 1.213 3% } | ||
Revision as of 17:24, 21 March 2017
Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (kurz WDF) mit dreieckförmigem Verlauf:
- Die Zufallsgröße X ist auf den Wertebereich von 0 und 1 begrenzt, und es gilt für die WDF (obere Skizze)
$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2x \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Zufallsgröße Y besitzt gemäß der unteren Skizze die folgende WDF:
$$f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - |y| \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} |y| \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
- Der Zusammenhang zwischen den zwei Zufallsgrößen ist durch die Gleichung X = |Y| gegeben.
Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die differentielle Entropie ermittelt werden. Beispielsweise lautet die entsprechende Gleichung für die Zufallsgröße X: $$h(X) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [ f_X(x) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x: f_X(x) > 0 \} \hspace{0.05cm}.$$ Verwendet man den natürlichen Logarithmus, so ist die Pseudo–Einheit „nat” anzufügen. Ist das Ergebnis dagegen in „bit” gefragt, so ist der Logarithmus dualis ⇒ „log2” zu verwenden.
In der Teilaufgabe (d) wird die neue Zufallsgröße Z = A · Y betrachtet. Der WDF–Parameter A ist so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße Z genau 1 bit ergibt:
$$h(Z) = h (A \cdot Y) = h (Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.1 Vorgegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
$$\int \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)\hspace{0.1cm}{\rm d}\xi =
\xi^2 \cdot \left [ \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)}{2} -
\frac{1}{4}\right ] \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung