Aufgaben:Exercise 5.1Z: Cosine Square Noise Limitation

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Wir betrachten ein bandbegrenztes weißes Rauschsignal $x(t)$ mit dem oben skizzierten Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$. Dieses ist im Bereich $|f| \le B_x$ konstant gleich $N_0/2$ und außerhalb gleich Null.

Gehen Sie von folgenden Zahlenwerten aus:

• Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{-16} \ \rm V^2/Hz$,
• Rauschbandbreite $B_x = 10 \ \rm kHz$.

Dieses Signal wird an den Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang $$H(f) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\cos ^2 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)} & {\rm{f\ddot{u}r}\quad \left| \it f \right| \le \it f_{\rm 0} ,} \\ 0 & {{\rm{sonst}}} \\\end{array}} \right.$$

angelegt. Hierbei bezeichnet $f_0$ die absolute Filterbandbreite, die zwischen $B_x/2$ und $2B_x$ variieren kann.

Das Filterausgangssignal wird mit $y(t)$ bezeichnet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Stochastische Systemtheorie.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Autokorrelationsfunktion.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:

$${\rm e}^{- \pi (f/{\rm \Delta} f)^2} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!\hspace{0.03cm}\circ \hspace{0.15cm}{\rm \Delta} f \cdot {\rm e}^{- \pi ({\rm \Delta} f \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} t)^2}.$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.5, Kapitel 4.5 und Kapitel 5.1. Benutzen Sie, falls nötig, die nachfolgenden Gleichungen:

$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot x}} \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2} \quad {\rm{(f\ddot{u}r }}\;{\rm{grösse }}\;x{\rm{)}}{\rm{,}}$$

$$\int {\rm{cos}}^{\rm{2}}( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ),$$

$$\int {\cos ^4 } ( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ) + \frac{1}{32a} \cdot \sin ( {4ax} ).$$

Fragebogen

1

Wie groß ist der Effektivwert des Eingangssignals x(t)?

$\sigma_x$ = $\mu V$

2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein momentaner Spannungswert des Eingangssignals betragsmäßig größer als 5 μV ist?

$Pr(|x(t)| > 5 μV)$ = $\cdot 10^{-7}$

3

Wie groß ist der Mittelwert (Gleichanteil) des Ausgangssignals y(t)?

$m_y$ = $\mu V$

4

Berechnen Sie den Effektivwert des Ausgangssignals y(t) für f₀ = B_x/2.

$f_0 = B_x/2:\ \ \sigma_y$ = $\mu V$

5

Berechnen Sie den Effektivwert von y(t) unter der Bedingung f₀ = 2B_x.

$f_0 = 2B_x:\ \ \sigma_y$ = $\mu V$

6

Es gelte weiter f₀ = 2B_x. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ausgangssignal y(t) betragsmäßig größer als 5 μV ist?

$Pr(|y(t)| > 5 \mu V)$ = $\cdot 10^{-12}$

Musterlösung

Solution

1.  Die Varianz (Leistung)  ⇒  Effektivwert zum Quadrat des Signals x(t) beträgt

$$\sigma _x ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot 2B_x = N_0 \cdot B_x = 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma _x \hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,\,{\rm \mu}{\rm V}}.$$

2.  Entsprechend dem Kapitel 3.5 und der hier angegebenen Näherung erhält man:

$$\Pr \left( {\left| {x(t)} \right| > 5\;{\rm{\mu V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}(5) = \frac{2}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot 5}} \cdot {\rm{e}}^{ - 12.5}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 6 \cdot 10^{ - 7}} .$$

3.  Das Eingangssignal x(t) ist mittelwertfrei (m_x = 0), da sonst Φ_x(f) noch eine Diracfunktion bei f = 0 beinhalten müsste. Der Mittelwert wird durch das lineare Filter nicht verändert  ⇒  m_y = 0.

4.  Für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals gilt allgemein:

$${\it \Phi}_y (f) = \frac{N_0 }{2} \cdot \left| {H( f )} \right|^2 .$$

Damit kann die Varianz σ_y² berechnet werden. Unter Ausnützung der Symmetrie erhält man:

$$\sigma _y ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H( f )} \right|^2 \left( f \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} = N_0 \cdot \int_0^{f_0 } {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f .$$

Das bestimmte Integral ist vorgegeben. Bei jedem der drei Lösungsterme ergibt sich für die untere Grenze der Wert 0. Daraus folgt:

$$\sigma _y ^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \left( {\frac{3}{8} \cdot f_0 + \frac{f_0 }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) + \frac{f_0 }{{16{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}} )} \right) = \frac{3}{8} \cdot N_0 \cdot f_0 .$$

$$f_0 = B_x/2:\hspace{0.2cm}\sigma _y ^2 = \frac{3}{16} \cdot N_0 \cdot B_x = \frac{3}{16} \cdot \sigma _x ^2 = 0.1875 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.433\;{\rm{\mu V}}}{\rm{.}}$$

5.  Nun besitzt das Eingangs-LDS für |f| > B_x keine Anteile. Deshalb gilt:

$$\sigma _y ^2 = N_0\cdot \int_0^{B_x } {\cos ^4 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f = N_0 \cdot \int_0^{f_0 /2} {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f.}$$

Die numerische Auswertung liefert hierfür:

$$\sigma _y ^2 = N_0 \left( {\frac{3}{8} \cdot B_x + \frac{B_x }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) + \frac{B_x }{{{\rm{16\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} )} \right)$$

$$\Rightarrow \sigma _y ^2 = N_0 \cdot B_x \left( {\frac{3}{8} + \frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}} \right) = 0.534\cdot \sigma _x ^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.731\;{\rm{\mu V}}}{\rm{.}}$$

6.  Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe (b) gilt:

$$\Pr \left( {\left| {y\left( t \right)} \right| > 5\;{\rm{\mu V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}\left( {\frac{{5\;{\rm{\mu V}}}}{{0.731\;{\rm{\mu V}}}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}( {6.84} ).$$

Mit der angegebenen Näherung hat diese Wahrscheinlichkeit den Wert 8 · 10^–12.