Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.9Z: Is Channel Capacity C ≡ 1 possible with BPSK?"
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+ | { Wie groß ist die differentielle Entropie <i>h</i>(<i>N</i>) bei gleichverteilter Störung? | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $Gleichverteilung, A = 1/8: h(N)$ = { 2 3% } | ||
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+ | {Wie groß ist die differentielle Entropie der Sinke? | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $Gleichverteilung, A = 1/8: h(Y)$ = { 1 3% } | ||
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+ | {Wie groß ist die Transinformation zwischen Quelle und Sinke? | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $I(X;Y))$ = { 1 3% } | ||
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+ | {Unter welchen Bedingungen ändert sich am Ergebnis (c) nichts? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + Für jedes <i>A</i> ≤ 1 bei der vorgegebenen Gleichverteilung. | |
− | + | + | + Für jede andere WDF <i>f<sub>N</sub></i>(<i>n</i>), wenn |<i>N</i>| ≤ 1 gilt. |
+ | + Wenn sich <i>f<sub>Y</sub></i>|<sub><i>X</i></sub>(<i>y</i>|–1) und <i>f<sub>Y</sub></i>|<sub><i>X</i></sub>(<i>y</i>|+1) nicht überlappen. | ||
+ | |||
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+ | {Beantworten Sie nun die entscheidende Frage. | ||
+ | <i>Hinweis</i>: Der Quotient <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> wird als endlich vorausgesetzt. | ||
+ | |type="[]"} | ||
+ | - <i>C</i><sub>BPSK</sub>(<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) ≡ 1 bit/Symbol ist mit Gauß–WDF möglich. | ||
+ | + Bei endlichem <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> gilt stets <i>C</i><sub>BPSK</sub>(<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) < 1 bit/Symbol. | ||
Revision as of 01:09, 20 April 2017
Wir gehen hier von einem binären bipolaren Quellensignal ⇒ X = (+1, –1)</nobr> aus. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Quelle lautet somit: $$f_X(x) = {1}/{2} \cdot \delta (x-1) + {1}/{2} \cdot \delta (x+1)\hspace{0.05cm}. $$ Die Transinformation zwischen der Quelle X und der Sinke Y kann gemäß der folgenden Gleichung berechnet werden: $$I(X;Y) = h(Y) - h(N)\hspace{0.05cm}, $$ wobei gilt:
- h(Y) bezeichnet die differentille Sinkenentropie :
$$h(Y) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}(f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_Y(y) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm},$$ $${\rm mit}\hspace{0.5cm} f_Y(y) = {1}/{2} \cdot \left [ f_{Y|{X}}(y|{X}=-1) + f_{Y|{X}}(y|{X}=+1) \right ]\hspace{0.05cm}.$$
- h(N) gibt die differentielle Störentropie an, berechenbar aus der WDF $$f_N(n)$$
$$h(N) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}(f_N)} \hspace{-0.35cm} f_N(n) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_N(n) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}n \hspace{0.05cm}.$$ Nimmt man für die Störung N eine Gaußverteilung fN(n) entsprechend der oberen Skizze an, so ergibt sich die gewünschte Kanalkapazität CBPSK = I(X; Y), die im Theorieteil abhängig von 10 · lg (EB/N0) dargestellt ist.
Beantwortet werden soll in dieser Aufgabe die Frage, ob es einen endlichen EB/N0–Wert gibt, für den CBPSK(EB/N0) ≡ 1 bit/Kanalzugriff möglich ist ⇒ Teilaufgabe (e).
In den Teilaufgaben (a), ... , (d) werden Vorarbeiten zur Beantwortung dieser Frage geleistet. Dabei wird stets von einer gleichverteilten Stör–WDF fN(n) ausgegangen (siehe untere Skizze): $$f_N(n) = \left\{ \begin{array}{c} 1/(2A) \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |n| < A, \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |n| > A. \\ \end{array} $$
Hinweis
- Die Aufgabe bezieht sich auf Seite 5b im Kapitel 4.3.
Fragebogen
Musterlösung