Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.7: Rectangular Matched Filter"
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{Wie groß sind der Nutzabtastwert zum optimalen Zeitpunkt <i>T</i><sub>D, opt</sub> und die Störleistung vor dem Detektor? | {Wie groß sind der Nutzabtastwert zum optimalen Zeitpunkt <i>T</i><sub>D, opt</sub> und die Störleistung vor dem Detektor? | ||
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− | $ | + | $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) \ = $ { 2 3% } $\ \rm V$ |
$\sigma_d^2 \ = $ { 1 3% } $\ \rm V^2$ | $\sigma_d^2 \ = $ { 1 3% } $\ \rm V^2$ | ||
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− | '''(3)''' Mit $\Delta t_h =\Delta t_g | + | '''(3)''' Mit $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm \mu s$ und $g_0 = 2 \hspace{0.05cm}\rm V$ erhält man $K_{\rm MF} 1/(\Delta t_g \cdot g_0)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.25 \cdot 10^{6}\hspace{0.05cm}\rm (1/Vs)}$ . |
− | '''(4)''' Die Energie des Nutzimpulses | + | |
+ | '''(4)''' Die Energie des Nutzimpulses $g(t)$ ist $E_g = g_0^2 \cdot \Delta t_g = 8 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm V^2s$. Daraus folgt für das maximale S/N-Verhältnis: | ||
:$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 {\rm{s}}}}{{4 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 /{\rm{Hz}}}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$ | :$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 {\rm{s}}}}{{4 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 /{\rm{Hz}}}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$ | ||
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− | '''(5)''' Der Ausgangsimpuls | + | [[File:P_ID575__Sto_A_5_7_f.png|right|Ausgangsimpuls des Matched-Filters zur Teilaufgabe (5)]] |
+ | '''(5)''' Der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ ist dreieckförmig zwischen 2 und 6 Mikrosekunden mit dem Maximum $g_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2 \hspace{0.05cm}\rm V}$ bei $T_\text{D, opt} =4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$. Die Störleistung ergibt sich zu: | ||
:$$\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$ | :$$\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$ | ||
− | + | Mit diesen beiden Rechengrößen kann man wiederum das maximale S/N-Verhältnis berechnen: | |
:$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) = \frac{{d_{\rm S} (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )^2}}{\sigma _d ^2 } = \frac{({2\;{\rm{V}})^2 }}{{1\;{\rm{V}}^2 }} = 4.$$ | :$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) = \frac{{d_{\rm S} (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )^2}}{\sigma _d ^2 } = \frac{({2\;{\rm{V}})^2 }}{{1\;{\rm{V}}^2 }} = 4.$$ | ||
− | '''(6)''' Aus obiger Skizze erkennt man, dass nun der Nutzabtastwert nur mehr halb so groß ist, nämlich 1 V. Damit ist für | + | '''(6)''' Aus obiger Skizze erkennt man, dass nun der Nutzabtastwert nur mehr halb so groß ist, nämlich $1 \hspace{0.05cm}\rm V$. Damit ist für $T_\text{D, opt} =3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ das S/N-Verhältnis um den Faktor $4$ kleiner, also $\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{=3}$. |
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− | '''(7)''' Die Skizze zeigt, dass nun der Ausgangsimpuls | + | [[File:P_ID576__Sto_A_5_7_g.png|right|Ausgangsimpuls des Matched-Filters zur Teilaufgabe (7)]] |
− | + | '''(7)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>: | |
− | + | *Die Skizze zeigt, dass nun der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ trapezförmig verläuft. | |
+ | *Im Bereich von $3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ bis $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ ist der Nutzabtastwert konstant gleich $g_0= 2 \hspace{0.05cm}\rm V$ | ||
+ | *Wegen der nur halb so breiten Impulsantwort $h(t)$ ist der Frequenzgang $H(f)$ um den Faktor $2$ breitbandiger und dadurch die Störleistung größer: | ||
:$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t} = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$ | :$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t} = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$ | ||
+ | *Damit ergibt sich für das S/N-Verhältnis nun der Wert $\rho_d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}.$ | ||
− | + | [[File:P_ID577__Sto_A_5_7_h.png|right|Ausgangsimpuls des Matched-Filters zur Teilaufgabe (8)]] | |
− | + | '''(8)''' Richtig sind hier <u>die Lösungsvorschläge 2 und 4</u>: | |
− | + | *Rechts ist der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ für $\Delta t_h = 3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ skizziert. Auch dieser ist trapezförmig. | |
− | + | *Der optimale Detektionszeitpunkt liegt nun im Bereich zwischen $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ und $5 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$. | |
− | [[File:P_ID577__Sto_A_5_7_h.png|right|]] | + | *Das Nutzsignal ist aber nun nur mehr ein Drittel so groß wie bei Anpassung: $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) = 2/3 \hspace{0.05cm}\rm V$. |
− | + | *Für die Störleistung gilt nun: | |
− | '''(8)''' | ||
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:$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$ | :$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$ | ||
− | + | *Die Störleistung ist zwar kleiner (also günstiger) als bei Anpassung entsprechend der Teilaufgabe (5). | |
− | + | *Trotzdem ist das S/N-Verhältnis aufgrund des kleineren Nutzabtastwertes noch schlechter als in der Teilaufgabe (7) berechnet: | |
:$$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$ | :$$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$ | ||
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Revision as of 14:22, 21 April 2017
Am Eingang eines Tiefpasses mit einer rechteckförmigen Impulsantwort $h(t)$ liegt das Empfangssignal $r(t)$ an, das sich additiv aus einem impulsförmigen Nutzsignal $g(t)$ und einem Rauschsignal $n(t)$ zusammensetzt. Es gelte:
- Der Nutzimpuls $g(t)$ ist rechteckförmig.
- Die Impulsdauer beträgt $\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
- Die Impulsamplitude ist $g_0 = 2 \hspace{0.05cm}\rm V$.
- Die Mitte des Impulses $T_g = 3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
- Das Rauschen $n(t)$ ist weiß und gaußverteilt.
- Die Leistungsdichte beträgt $N_0 = 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.05cm}\rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$ bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$.
Die rechteckförmige Impulsantwort des Filters beginnt bei $t = 0$. Die Impulsantwortdauer $\Delta t_h$ ist frei wählbar. Die Höhe $1/\Delta t_h$ der Impulsantwort ist jeweils so angepasst, dass $H(f = 0) = 1$ gilt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Matched-Filter.
- Für die Teilfragen (1) bis (6) gelte stets $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- Bei gleicher Impulsdauer ($\Delta t_h =\Delta t_g$) handelt es sich um ein Matched-Filter, auch wenn die Amplitude ($0.5 \cdot 10^{-6} \hspace{0.05cm}\rm 1/s$ bzw. $2 \hspace{0.05cm}\rm V$) und die zeitliche Lage von $g(t)$ und $h(t)$ nicht übereinstimmen.
- Damit gibt es auch kein anderes Filter mit besserem Signal-zu-Rauschleistungsverhältnis.
- Das Filter mit rechteckförmiger Impulsantwort lässt sich auch als ein Integrator über die Zeitdauer $\Delta t_h$ interpretieren.
(2) Die Impulsantwort des Matched-Filters lautet: $h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$
- Der Eingangsimpuls $g(t)$ ist im Bereich von $2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ bis $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ ungleich Null, bei Spiegelung im Bereich von $-4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ bis $-2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
- Durch eine Verschiebung um $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ wird erreicht, dass $g(T_{\rm D} - t)$ wie die Impulsantwort $h(t)$ zwischen $0$ und $2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$. Daraus folgt: $T_\text{D, opt}\hspace{0.15cm}\underline{ =4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s}$.
(3) Mit $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm \mu s$ und $g_0 = 2 \hspace{0.05cm}\rm V$ erhält man $K_{\rm MF} 1/(\Delta t_g \cdot g_0)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.25 \cdot 10^{6}\hspace{0.05cm}\rm (1/Vs)}$ .
(4) Die Energie des Nutzimpulses $g(t)$ ist $E_g = g_0^2 \cdot \Delta t_g = 8 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm V^2s$. Daraus folgt für das maximale S/N-Verhältnis:
- $$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 {\rm{s}}}}{{4 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 /{\rm{Hz}}}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$
(5) Der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ ist dreieckförmig zwischen 2 und 6 Mikrosekunden mit dem Maximum $g_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2 \hspace{0.05cm}\rm V}$ bei $T_\text{D, opt} =4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$. Die Störleistung ergibt sich zu:
- $$\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$
Mit diesen beiden Rechengrößen kann man wiederum das maximale S/N-Verhältnis berechnen:
- $$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) = \frac{{d_{\rm S} (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )^2}}{\sigma _d ^2 } = \frac{({2\;{\rm{V}})^2 }}{{1\;{\rm{V}}^2 }} = 4.$$
(6) Aus obiger Skizze erkennt man, dass nun der Nutzabtastwert nur mehr halb so groß ist, nämlich $1 \hspace{0.05cm}\rm V$. Damit ist für $T_\text{D, opt} =3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ das S/N-Verhältnis um den Faktor $4$ kleiner, also $\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{=3}$.
(7) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:
- Die Skizze zeigt, dass nun der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ trapezförmig verläuft.
- Im Bereich von $3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ bis $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ ist der Nutzabtastwert konstant gleich $g_0= 2 \hspace{0.05cm}\rm V$
- Wegen der nur halb so breiten Impulsantwort $h(t)$ ist der Frequenzgang $H(f)$ um den Faktor $2$ breitbandiger und dadurch die Störleistung größer:
- $$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t} = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$
- Damit ergibt sich für das S/N-Verhältnis nun der Wert $\rho_d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}.$
(8) Richtig sind hier die Lösungsvorschläge 2 und 4:
- Rechts ist der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ für $\Delta t_h = 3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ skizziert. Auch dieser ist trapezförmig.
- Der optimale Detektionszeitpunkt liegt nun im Bereich zwischen $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ und $5 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
- Das Nutzsignal ist aber nun nur mehr ein Drittel so groß wie bei Anpassung: $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) = 2/3 \hspace{0.05cm}\rm V$.
- Für die Störleistung gilt nun:
- $$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$
- Die Störleistung ist zwar kleiner (also günstiger) als bei Anpassung entsprechend der Teilaufgabe (5).
- Trotzdem ist das S/N-Verhältnis aufgrund des kleineren Nutzabtastwertes noch schlechter als in der Teilaufgabe (7) berechnet:
- $$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$