Aufgaben:Exercise 3.4: Entropy for Different PMF

• Return to book

In der ersten Zeile der nebenstehenden Tabelle ist die mit „a” bezeichnete Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben. Für dieses $P_X(X)$ soll soll in der Teilaufgabe (a) die Entropie

$$H_{\rm a}(X) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{X}(X)}\right ]$$

berechnet werden. Da hier der Logarithmus zur Basis 2 verwendet wird, ist die Pseudo–Einheit „bit” anzufügen.

In den weiteren Aufgaben sollen jeweils einige Wahrscheinlichkeiten variiert werden und zwar derart, dass sich jeweils die größtmögliche Entropie ergibt:

• Durch geeignete Variation von $p_3$ und $p_4$ kommt man zur maximalen Entropie $H_b(X)$ unter der Voraussetzung $p_1 = 0.1$ und $p_2 = 0.2$ $\Rightarrow$ Teilaufgabe (b).

• Durch geeignete Variation von $p_2$ und $p_3$ kommt man zur maximalen Entropie $H_c(X)$ unter der Voraussetzung $p_1 = 0.1$ und $p_4 = 0.4$ $\Rightarrow$ Teilaufgabe (c).

• In der Teilaufgabe (d) sind alle vier Parameter zur Variation freigegeben, die entsprechend der maximalen Entropie $\Rightarrow$ $H_{max}(X)$ zu bestimmen sind.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.1

Fragebogen

1

Zu welcher Entropie führt $P_X(X) = [ 0.1, 0.2, 0.3, 0.4]$ ?

$H_a(X)$ = $bit$

2

Es gelte allgemein $P_X(X) = [ 0.1, 0.2, p_3, p_4]$. Welche Entropie erhält man, wenn $p_3$ und $p_4$ bestmöglich gewählt werden?

$H_b(X)$ = $bit$

3

Nun gelte $P_X(X) = [ 0.1, p_2, p_3, 0.4]$. Welche Entropie erhält man, wenn $p_2$ und $p_3$ bestmöglich gewählt werden?

$H_c(X)$ = $bit$

4

Welche Entropie erhält man, wenn ($p_1$, $p_2$,$p_3$ und $p_4$) bestmöglich gewählt werden Können ?

$H_{max}(X)$ = $bit$

Musterlösung

Solution

1. Mit $P_X(X) = [ 0.1, 0.2, 0.3, 0.4]$ erhält man für die Entropie:

$$H_{\rm a}(X) = 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.2} + 0.3 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.3} + 0.4 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.4} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.846} \hspace{0.05cm}$$.

Hier (und bei den anderen Aufgaben) ist jeweils die Pseudo–Einheit „bit” anzufügen.

2. Die Entropie $H_b (X)$ sich als Summe zweier Anteile $H_{b1}(X)$ und $H_{b2}(X)$ darstellen, mit:

$$H_{\rm b1}(X) = 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.2} = 0.797 \hspace{0.05cm}$$

$$H_{\rm b2}(X) = p_3 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_3} + (0.7-p_3) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.7-p_3} \hspace{0.05cm}$$.

Die zweite Funktion ist für $p-3 = p_4 = 0.35$ Ein ähnlicher Zusammenhang hat sich bei der Binäre Entropiefunktion ergeben. Damit erhält man :

$$H_{\rm b2}(X) = 2 \cdot p_3 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_3} = 0.7 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.35} = 1.060$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm b}(X) = H_{\rm b1}(X) + H_{\rm b2}(X) = 0.797 + 1.060 \hspace{0.15cm} \underline {= 1.857} \hspace{0.05cm}$$.

3. Analog zur Aufgabe (b) ergibt sich mit $p_1 = 0.1$, $p_4 = 0.4$ das Maximum für $p_2 = p_3 = p_3 = 0.25$ :

$$H_{\rm c}(X) = 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 2 \cdot 0.25 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.25} + 0.4 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.4} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.861} \hspace{0.05cm}$$.

4. Die maximale Entropie für den Symbolumfang $M=4$ ergibt sich bei gleichen Wahrscheinlichkeiten ( $p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 0.25$):

$$H_{\rm max}(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} M \hspace{0.15cm} \underline {= 2} \hspace{0.05cm}$$.

Die Differenz der Entropien entsprechend (d) und (c) ergibt $\triangle H(X) = 0.139 bit$. Hierbei gilt:

$$\Delta H(X) = 1- 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} - 0.4 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.4} \hspace{0.05cm}$$.

Mit der binären Entropiefunktion

$$H_{\rm bin}(p) = p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} + (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p}$$

lässt sich hierfür auch schreiben:

$$\Delta H(X) = 0.5 \cdot \left [ 1- H_{\rm bin}(0.2) \right ] = 0.5 \cdot \left [ 1- 0.722 \right ] = 0.139 \hspace{0.05cm}$$.