Aufgaben:Exercise 1.4: Entropy Approximations for the AMI Code

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Binäres Quellensignal und ternäres Codersignal

Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal $q(t)$, das man ebenfalls durch die Symbolfolge $\langle q_\nu \rangle$ mit $q_\nu \in \{ {\rm L}, {\rm H} \}$ beschreiben kann. In der gesamten Aufgabe gelte $p_{\rm L} = p_{\rm H} =0.5$.

Das codierte Signal $c(t)$ und die dazugehörige Symbolfolge $\langle c_\nu \rangle$ mit $c_\nu \in \{{\rm P}, {\rm N}, {\rm M} \}$ ergibt sich aus der AMI–Codierung (Alternate Mark Inversion) nach folgender Vorschrift:

• Das Binärsymbol $\rm L$  ⇒  Low wird stets durch das Ternärsymbol $\rm N$  ⇒  Null dargestellt.
• Das Binärsymbol $\rm H$  ⇒  High wird ebenfalls deterministisch, aber alternierend (daher der Name „AMI”) durch die Symbole $\rm P$  ⇒  Plus und $\rm M$  ⇒  Minus codiert.

In dieser Aufgabe sollen die Entropienäherungen für das AMI–codierte Signal berechnet werden:

• Die Näherung $H_1$ bezieht sich nur auf die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm P}$, $p_{\rm N}$ und $p_{\rm M}$.

• Die $k$–te Entropienäherung ($k = 2, 3$, ... ) kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:

$$H_k = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{3^k} p_i^{(k)} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_i^{(k)}} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})

\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet $p_i^{(k)}$ die $i$–te Verbundwahrscheinlichkeit eines $k$–Tupels.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nachrichtenquellen mit Gedächtnis.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• In der Aufgabe 1.4Z wird die tatsächliche Entropie der Codesymbolfolge $\langle c_\nu \rangle$ zu $H = 1 \; \rm bit/Symbol$ berechnet.
• Zu erwarten sind die folgenden Größenrelationen: $H \le$ ...$ \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0

\hspace{0.05cm}.$

Fragebogen

1 Wie groß ist der Entscheidungsgehalt des AMI–Codes?

$H_0 \ = $ $\ \rm bit/Symbol$

2 Berechnen Sie die erste Entropienäherung des AMI–Codes.

$H_1 \ = $ $\ \rm bit/Symbol$

3 Wie groß ist die Entropienäherung $H_2$, basierend auf Zweiertupel?

$H_2 \ = $ $\ \rm bit/Symbol$

4 Welchen Wert liefert die Entropienäherung $H_3$, basierend auf Dreiertuptel?

$H_3 \ = $ $\ \rm bit/Symbol$

5 Welche Aussagen gelten für die Entropienäherung $H_4$?

	Es muss über $3^4 = 81$ Summanden gemittelt werden.
	Es gilt $1 \; {\rm bit/Symbol} < H_4 < H_3$.
	Nach langer Rechnung erhält man $H_4 = 1.333 \; {\rm bit/Symbol}$.

Musterlösung

Solution

1.  Der Symbolumfang beträgt M = 3. Daraus ergibt sich der Entscheidungsgehalt mit dem Logarithmus dualis zur Basis 2 (log₂ oder „ld”):

$$H_0 = {\rm log}_2\hspace{0.1cm} M = {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (3) \hspace{0.15cm} \underline { = 1.585 \,{\rm bit/Symbol}}

\hspace{0.05cm}.$$

2.  Die Entropienäherung erster Ordnung berücksichtigt nur die Symbolwahrscheinlichkeiten p_P, p_N und p_M und nicht die statistischen Bindungen innerhalb der Codefolge 〈c_ν〉. Damit erhält man:

$$p_{\rm N} = p_{\rm L} = 1/2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm P} = p_{\rm M} = p_{\rm H}/2 = 1/4$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} H_1 = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (2) +

2 \cdot \frac{1}{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(4)  \hspace{0.15cm} \underline {= 1.5 \,{\rm bit/Symbol}} 
\hspace{0.05cm}.$$

3.  Zunächst müssen hier die M² = 9 Verbundwahrscheinlichkeiten von Zweiertupeln ermittelt werden, im Folgenden gekennzeichnet durch die beiden ersten Codesymbole c₁ und c₂:

• Da beim AMI–Code weder P auf P noch M auf M folgen kann, ist p_PP = p_MM = 0.

• Für die Verbundwahrscheinlichkeiten unter der Bedingung c₂ = N gilt:

$$p_{\rm NN} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{N}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{N}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{N}) = 1/2 \cdot 1/2 = 1/4 \hspace{0.05cm},\\

p_{\rm MN} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{M}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{N}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{M}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm},\\
p_{\rm PN} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{P}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{N}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{P}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8
\hspace{0.05cm}.$$

• Die Verbundwahrscheinlichkeiten der Zweiertupel „PM” und „MP” lauten:

$$p_{\rm PM} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{P}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{M}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{P}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm},\\

p_{\rm MP} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{M}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{P}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{M}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm}.$$

• Bei den restlichen Wahrscheinlichkeiten muss zusätzlich berücksichtigt werden, ob beim letzten Mal das Binärsymbol H mit P oder mit M codiert wurde  ⇒  weiterer Faktor 1/2:

$$p_{\rm NM} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{N}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{M}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{N}) = 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/2= 1/8 \hspace{0.05cm},\\

p_{\rm NP} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{N}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{P}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{N}) = 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm}.$$

Damit ist die Entropie H₂' eines Zweiertupels bzw. dessen Entropie H₂ pro Codesymbol:

$$H_2' = \frac{1}{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (4) +

6 \cdot \frac{1}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(8)  \hspace{0.15cm} {= 2.75 \,{\rm bit/Zweiertupel}}$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} H_2 = \frac{H_2'}{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.375 \,{\rm bit/Symbol}}

\hspace{0.05cm}.$$

4.  Die Berechnung von H₃ erfolgt ähnlich wie bei der letzten Teilaufgabe für H₂, nur müssen nun 3³ = 27 Verbundwahrscheinlichkeiten ermittelt werden:

$$p_{\rm NNN} = 1/8\hspace{0.4cm}{\rm (nur \hspace{0.15cm}einmal)}

\hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm NMM} = p_{\rm NPP} = p_{\rm MNM} = ... = 0 \hspace{0.4cm}{\rm (ingesamt \hspace{0.15cm}12)}

\hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm NNM} = p_{\rm NNP} = p_{\rm PMP} = ... = 1/16 \hspace{0.4cm}{\rm (ingesamt \hspace{0.15cm}14)}$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} H_3 = \frac{1}{3} \cdot \left [

\frac{1}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (8) + 
14 \cdot \frac{1}{16} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(16)
\right ]  \hspace{0.15cm} \underline {= 1.292 \,{\rm bit/Symbol}} 
\hspace{0.05cm}.$$

5.  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2. Falsch ist dagegen die Aussage 3, da H₄ auf jeden Fall kleiner sein muss als H₃ = 1.292 bit/Symbol.