Aufgaben:Exercise 4.9: Costas Rule Loop

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Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung. Eine Möglichkeit hierfür bietet die sog. Costas–Regelschleife, die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.

Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation (BPSK) als $$ r(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi)$$ geschrieben werden. Die Phasendrehung ϕ auf dem Übertragungskanal muss dabei stets als unbekannt angenommen werden. „±” beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.

Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es, ein Trägersignal $$z(t) = \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta)$$ zu generieren, wobei der Phasenfehler $\phi – θ$ zwischen dem BPSK–Empfangssignal r(t) und der am Empfänger generierten Schwingung z(t) ausgeregelt werden muss. Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator (VCO, Voltage Controlled Oscillator) eine Schwingung der Frequenz $f_T$ erzeugt, zunächst mit beliebiger Phase θ. Durch die Costas–Regelschleife wird jedoch iterativ das Wunschergebnis $θ = \phi$ erreicht.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare digitale Modulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick.
• Die Herleitungen finden Sie im Kapitel Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation des Buches „Digitalsignalübertragung”.
• Die Angabe einer Leistung in $\rm V^2$ bzw. einer Energie in $\rm V^2 s$ bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand $1 \ \rm \Omega$.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.2. „TP” bezeichnet als ideal angenommene Tiefpässe. Das mit π/2 beschriftete Quadrat kennzeichnet eine Phasendrehung um π/2 (90°), so dass beispielsweise aus einem Cosinus–Signal ein Minus–Sinus–Signal wird: $$\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t + 90^\circ) = -\sin (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ Weiter gelten folgende trigonometrischen Beziehungen: $$\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta) = \frac{1} {2} \cdot \left [ \cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)\right]\hspace{0.05cm},$$ $$\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) = \frac{1} {2} \cdot \left [ \sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)\right]\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie das Signal $y_1(t)$ nach dem Tiefpass im oberen Zweig. Welche der nachfolgenden Aussagen ist richtig?

	$y_1(t) = ± s_0/2 · [cos (\phi – θ) + cos (4 π · f_T · t +\phi + θ)],$
	$y_1(t) = ± s_0/2 · cos (\phi – θ),$
	$y_1(t) = ± s_0/2 · sin (\phi – θ).$

2

Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ nach dem Tiefpass im unteren Zweig. Welche der nachfolgenden Aussagen ist richtig?

	$y_2(t) = ± s_0/2 · [cos (\phi – θ) + cos (4 π · f_T · t + \phi + θ)],$
	$y_2(t) = ± s_0/2 · cos (\phi – θ),$
	$y_2(t) = ± s_0/2 · sin (\phi – θ).$

3

Berechnen Sie das Regelsignal $x(t)$ und geben Sie eine Näherung für kleine Phasenabweichung $\phi – θ$ an. Welche Gleichungen sind richtig?

	$x(t) = s_0^2/8 · cos(\phi + θ)$,
	$x(t) = s_0^2/8 · sin(2 \phi – 2θ),$
	$x(t) ≈ s02/4 · (\phi – θ),$
	$x(t) ≈ s_0^2/4 · (\phi – θ)2.$

Musterlösung

Solution

1. Mit dem Additionstheorem der Trigonometrie erhält man: $$ m_1(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) =$$ $$ = \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \cos ( \phi - \theta) + \cos (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]\hspace{0.05cm}.$$ Nach dem Tiefpass verbleibt nur der Gleichanteil $y1(t) = ± s0/2 · cos (\phi – θ).$ Richtig ist somit der zweite Lösungsvorschlag.

2. Analog zu Teilaufgabe a) ergibt sich $$ m_2(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]=$$ $$= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]$$ $$ y_2(t) = \pm \frac{s_0}{2} \cdot\sin ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$ Richtig ist demnach hier der letzte Lösungsvorschlag.

3. Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3: $$x(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta) =$$ $$ = \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$ Mit der Kleinwinkelnäherung $sin(α) ≈ α$ folgt daraus: $$x(t) \approx \frac{s_0^2}{4} \cdot ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$ Das Regelsignal $x(t)$ ist also proportional zum Phasenfehler $\phi – θ$, der mit der Costas–Regelschleife zu 0 geregelt wird. Im eingeschwungenen Zustand folgt somit das Oszillatorsignal $z(t)$ unmittelbar dem Empfangssignal $r(t)$.

Um die erforderliche Startbedingung $θ ≈ \phi$ zu erreichen, wird meist zunächst eine Trainigssequenz übertragen und die Phase entsprechend initialisiert. Dies auch, weil die Phase nur modulo $π$ ausgeregelt wird, so dass beispielsweise $\phi – θ = π$ fälschlicherweise zum Regelsignal $x(t) = 0$ führt.