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==Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion== | ==Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion== | ||
− | *Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $(x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch die Fouriertransformation (FT) $$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot e^{-j2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ | + | *Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $(x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch die Fouriertransformation (FT) $$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot e^{-j2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ und deren Inversen (IFT) $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot e^{j2\pi f t} \hspace{0.15cm} {\rm d}f$$ gegeben. |
− | $$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot | + | *In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt: |
+ | $$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ | ||
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+ | $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f$$. | ||
+ | *$x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in V, $X(f)$ in V/Hz. | ||
+ | *Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ das Spektrum $X(f)$ muss noch mit $T$ multipliziert werden. | ||
+ | *Der Zusammenhang zwischen Impulse und deren Spektren und der ähnlich aufgebauten Animation „Tiefpass“ basiert auf dem Vertauschungssatz. | ||
Revision as of 08:39, 14 September 2017
Contents
Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion
- Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $(x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch die Fouriertransformation (FT) $$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot e^{-j2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ und deren Inversen (IFT) $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot e^{j2\pi f t} \hspace{0.15cm} {\rm d}f$$ gegeben.
- In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:
$$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ und $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f$$.
- $x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in V, $X(f)$ in V/Hz.
- Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ das Spektrum $X(f)$ muss noch mit $T$ multipliziert werden.
- Der Zusammenhang zwischen Impulse und deren Spektren und der ähnlich aufgebauten Animation „Tiefpass“ basiert auf dem Vertauschungssatz.