Aufgaben:Exercise 3.4Z: Eye Opening and Level Number

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In dieser Aufgabe werden ein redundanzfreies Binärsystem und ein redundanzfreies Quaternärsystem hinsichtlich vertikaler Augenöffnung miteinander verglichen. Für die beiden Übertragungssysteme gelten die gleichen Randbedingungen:

• Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist jeweils NRZ–rechteckförmig und besitze die Höhe $s_0 = 1 \, {\rm V}$.
• Die (äquivalente) Bitrate beträgt $R_B = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
• Das AWGN–Rauschen besitzt die Rauschleisungsdichte $N_0$.
• Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_G = 30 \, {\rm MHz}$:

$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$

• Die Entscheiderschwellen sind optimal. Der Detektionszeitpunkt ist $T_D = 0$.

Für die halbe Augenöffnung eines $M$–stufigen Übertragungssystems gilt allgemein:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_\nu | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} |\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist $g_0 = g_d(t = 0)$ der Hauptwert des Detektionsgrundimpulses $g_d(t) = g_s(t) * h_G(t)$. Der zweite Term beschreibt die Nachläufer $g_{\rm \nu} = g_d(t = \nu T)$ und der letzte Term die Vorläufer $g_{\rm -\nu} = g_d(t = -\nu T)$. Beachten Sie, dass bei der vorliegenden Konfiguration mit Gaußtiefpass

• alle Detektionsgrundimpulswerte $... \, g_{\rm -1}, \, g_0, \, g_1, \, ...$ positiv sind,
• die Summe $... \, + \, g_{\rm -1} + g_0 + g_1\,...$ den konstanten Wert $s_0$ ergibt,
• der Hauptwert mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion $Q(x)$ berechnet werden kann:

$$g_0 = s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Augendiagramme des Binär– und des Quaternärsystems sowie – in roter Farbe – die zugehörigen Detektionsgrundimpulse $g_d(t)$. Eingezeichnet sind auch die optimalen Entscheiderschwellen $E$ (für $M = 2$) bzw. $E_1$, $E_2$, $E_3$ (für $M = 4$). In der Aufgabe g) sollen diese numerisch ermittelt werden.

Hinweis: Die Aufgabe gehört zu Kapitel 3.4. Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:

$${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$

$${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) = 0.0228.$$

Fragebogen

1

Wie groß sind die Symboldauern beim Binär– und beim Quaternärsystem?

$M = 2: T$ = ${\rm ns}$

$M = 4: T$ = ${\rm ns}$

2

Berechnen Sie den Hauptwert für das Binärsystem.

$M = 2: g_0$ = ${\rm V}$

3

Berechnen Sie den Hauptwert für das Quaternärsystem.

$M = 4: g_0$ = ${\rm V}$

4

Welche Gleichungen gelten unter Berücksichtigung des Gaußtiefpasses?

	$\ddot{o}(T_D)/2 = M \cdot g_0/(M – 1) – s_0,$
	$\ddot{o}(T_D)/2 = M \cdot s_0/(M – 1) – g_0,$
	$\ddot{o}(T_D)/2 = s_0/(M – 1) \cdot [1 – 2 \cdot M \cdot Q((2\pi)^{\rm 1/2} \cdot {\rm log_2} \, (M) \cdot f_G/R_B)].$

5

Welche Augenöffnung ergibt sich für das Binärsystem?

$M = 2: \ddot{o}(T_D)$ = $V$

6

Welche Augenöffnung ergibt sich für das Quaternärsystem?

$M = 4: \ddot{o}(T_D)$ = $V$

7

Bestimmen Sie die optimalen Schwellenwerte des Quaternärsystems. Geben Sie zur Kontrolle den Schwellenwert $E_1$ ein.

$M = 4: E_1$ =

Musterlösung

Solution

(1) Beim Binärsystem ist die Bitdauer gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bitrate:

$$T = \frac{1}{R_{\rm B}}= \frac{1}{100\,{\rm Mbit/s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$

Die Symboldauer des Quaternärsystems ist doppelt so groß:

$$T = \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}4}{R_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {= 20\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt für das Binärsystem:

$$g_0 & = & s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]= 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 30\,{\rm MHz} \cdot 10\,{\rm ns} \right)\right]$$

$$\ \approx \ 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 0.75 \right)\right] = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.2266 \right]\hspace{0.15cm}\underline { = 0.547\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Aufgrund der doppelten Symboldauer ergibt sich bei gleicher Grenzfrequenz für $M = 4$:

$$g_0 & = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 1.5 \right)\right] = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.0668 \right] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.867\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Erweitert man die angegebene Gleichung um $±g_0$, so erhält man:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} + g_0 - g_0 - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_\nu - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_{-\nu} = \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass beim Gaußtiefpass auf die Betragsbildung verzichtet werden kann und zum zweiten, dass die Summe über alle Detektionsimpulswerte gleich $s_0$ ist. Richtig ist also der erste, aber auch der letzte Lösungsvorschlag:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 = \frac{M}{ M-1} \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]- s_0 =$$

$$\ = \ \frac{s_0}{ M-1} \cdot \left [ 1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] \hspace{0.05cm}.$$

Mit der Beziehung $T = {\rm log_2} \,(M)/R_B$ kommt man zum dritten, ebenfalls zutreffenden Lösungsvorschlag.

(5) Mit den Ergebnissen aus b) und d) sowie $M = 2$ erhält man:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (2 \cdot g_0 - s_0) = 2 \cdot (2 \cdot 0.547\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.188\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

(6) Mit $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$, $s_0 = 1 \, {\rm V}$ und $M = 4$ ergibt sich dagegen:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot ({4}/{3} \cdot 0.867\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.312\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

(7) Entsprechend Teilaufgabe c) ist $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$ und dementsprechend $g_{\rm VN} = 0.133 \, {\rm V}$ (Summe aller Vor– und Nachläufer). Die Augenöffnung beträgt $\ddot{o} = 0.312 \, {\rm V}$. Aus der Skizze auf der Angabenseite erkennt man, dass die obere Begrenzung des oberen Auges folgenden Wert besitzt (für $T_D = 0$):

$$o = s_0 - 2 \cdot g_{\rm VN}= g_0 - g_{\rm VN}= 0.867\,{\rm V} - 0.133\,{\rm V} = 0.734\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$

Die untere Begrenzung liegt bei:

$$u = o -{\ddot{o}} = 0.734\,{\rm V} - 0.312\,{\rm V} = 0.422\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt für die optimale Entscheiderschwelle des oberen Auges:

$$E_3 = \frac{o + u}{2} = \frac{0.734\,{\rm V} + 0.422\,{\rm V}}{2} { = 0.578\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

Der gesuchte Schwellenwert (für das untere Auge) ist $E_1 \underline {\, = \, –0.578 \, V}$. Die mittlere Entscheiderschwelle liegt aus Symmetriegründen bei $E_2 = 0$.