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| {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung
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| [[File:P_ID2121__Mob_Z_1_1.png|right|frame|Bandbreitenorganisation bei DSL]]
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| Funkübertragung bei Sichtverbindung lässt sich durch das sog. Pfadverlustmodell beschreiben, das durch folgende Gleichungen gegeben ist:
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| :$$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},$$
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| :$$V_{\rm 0} = \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$
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| Die Grafik zeigt den Pfadverlust $V_{\rm P}(d)$ in $dB$. Auch die Abszisse $d$ ist logarithmisch dargestellt. In obiger Gleichung sind verwendet:
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| * die Distanz $d$ von Sender und Empfänger,
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| * die Bezugsentfernung $d_0 = 1 \ \rm m$,
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| * der Pfadverlustexponent $\gamma$,
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| * die Wellenlänge $\lambda$ der elektromagnetischen Welle.
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| Gezeigt sind zwei Szenarien (A) und (B) mit gleichem Pfadverlust bei der Distanz $d_0 = 1 \ \rm m$:
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| :$$V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d = d_0) = 20\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
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| Eines dieser beiden Szenarien beschreibt die so genannte <i>Freiraumdämpfung</i>, charakterisiert durch den Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$. Die Gleichung für die Freiraumdämpfung gilt allerdings nur im <i>Fernfeld</i>, also wenn der Abstand $d$ zwischen Sender und Empfänger größer ist als die „Fraunhofer–Distanz”
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| :$$d_{\rm F} = {2 D^2}/{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$
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| Hierbei ist $D$ die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne. Bei einer $\lambda/2$–Antenne erhält man hierfür das einfache Ergebnis:
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| :$$d_{\rm F} = \frac{2 \cdot (\lambda/2)^2}{\lambda} = {\lambda}/{2}\hspace{0.05cm}.$$
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| ''Hinweis:''
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| * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]].
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| * Die Lichtgeschwindigkeit beträgt $c = 3 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}$.
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| ===Fragebogen===
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| <quiz display=simple>
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| {Welche Pfadverlustexponenten gelten für die Szenarien (A) und (B)?
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| |type="{}"}
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| $\gamma_{\rm A}$ = { 2 3% }
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| $\gamma_{\rm B}$ = { 2.5 3% }
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| {Welches Szenario beschreibt die Freiraumdämpfung?
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| |type="[]"}
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| + Szenario (A),
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| - Szenario (B).
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| {Welche Signalfrequenzen liegen den Szenarien (A) und (B) zugrunde?
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| |type="{}"}
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| $f_{\rm A}$ = { 240 3% } $\ \rm MHz$
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| $f_{\rm B}$ = { 151.4 3% } $\ \rm MHz$
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| {Gilt das Freiraum–Szenario für alle Distanzen zwischen $1 \ \rm m$ und $10 \ \rm km$?
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| |type="()"}
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| + Ja,
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| - Nein.
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| </quiz>
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| ===Musterlösung===
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| {{ML-Kopf}}
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| '''(1)''' Die (einfachste) Pfadverlustgleichung lautet:
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| :$$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm}.$$
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| Beim Szenario (A) beträgt der Abfall pro Dekade (zum Beispiel zwischen $d_0 = 1 \ \rm m$ und $d = 10 \ \rm m$) genau $20 \ \rm dB$ und beim Szenario (B) $25 \ \rm dB$. Daraus folgt:
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| :$$\gamma_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\gamma_{\rm B} \hspace{0.15cm} \underline{= 2.5}\hspace{0.05cm}.$$
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| '''(2)''' Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da die Freiraumdämpfung durch den Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$ gekennzeichnet ist.
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| '''(3)''' Der Pfadverlust bei $d_0 = 1 \ \rm m$ ist in beiden Fällen $V_0 = 20 \ \rm dB$. Beim Szenario (A) gilt weiter:
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| :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm A}}\right ]^2 = 20\,{\rm dB} \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}
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| \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm A}} = 10 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}
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| \lambda_{\rm A} = 4 \pi \cdot 0.1\,{\rm m} = 1.257\,{\rm m}
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| \hspace{0.05cm}.$$
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| Die Frequenz $f_{\rm A}$ hängt mit der Wellenlänge $\lambda_{\rm A}$ über die Lichtgeschwindigkeit $c$ zusammen:
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| :$$f_{\rm A} = \frac{c}{\lambda_{\rm A}} = \frac{3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{1.257\,{\rm m}} = 2.39 \cdot 10^8\,{\rm Hz}
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| \hspace{0.15cm} \underline{\approx 240 \,\,{\rm MHz}}
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| \hspace{0.05cm}.$$
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| Dagegen gilt für das Szenario (B):
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| :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ]^{2.5} = 20\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 25 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ] = 20\,{\rm dB}$$
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| :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}} = 10^{0.8} \approx 6.31
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| \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
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| {\lambda_{\rm B}} = \frac{10}{6.31} \cdot {\lambda_{\rm A}}$$
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| :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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| {f_{\rm B}} = \frac{6.31}{10} \cdot {f_{\rm A}} = 0.631 \cdot 240 \,{\rm MHz}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 151.4 \,\,{\rm MHz}}
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| \hspace{0.05cm}.$$
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| '''(4)''' Richtig ist der <u>erste Lösungsvorschlag</u>. Beim Freiraum–Szenario (A) beträgt die Fraunhofer–Distanz $d_{\rm F} = \lambda_{\rm A}/2 \approx 63 \ \rm cm$. Es gilt also stets $d > d_{\rm F}$. Auch beim Szenario (B) ist wegen $\lambda_{\rm B} \approx 2 \ \rm m$ bzw. $d_{\rm F} \approx 1 \ \rm m$ der gesamte dargestellte Verlauf richtig.
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| {{ML-Fuß}}
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| [[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^1.1 Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung^]]
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