Aufgaben:Exercise 3.5: Eye Opening with Pseudoternary Coding

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Augendiagramme beim AMI– und Duobinärcode

Betrachtet werden drei Nachrichtenübertragungssysteme, jeweils mit folgenden übereinstimmenden Eigenschaften:

• NRZ–Rechteckimpulse mit der Amplitude $s_0 = 2 \, {\rm V}$,
• Koaxialkabel mit charakteristischer Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$,
• AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,
• Empfangsfilter, bestehend aus einem idealen Kanalentzerrer und einem Gaußtiefpass mit der normierten Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T \approx 0.5$.
• Schwellenwertentscheider mit optimalen Entscheiderschwellen und optimalem Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$.

Die in der Aufgabe zu untersuchenden Systemvarianten unterscheiden sich ausschließlich hinsichtlich des Übertragungscodes:

System A verwendet ein binäres bipolares redundanzfreies Sendesignal. Von diesem System sind folgende Beschreibungsgrößen bekannt:

• Grundimpulswerte $g_0 = 1.56 \, {\rm V}$, $g_1 = g_{\rm –1} = 0.22 \, {\rm V}$, $g_2 = g_{\rm –2} = \, ... \, \approx 0$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = g_{0} -g_{1}-g_{-1} = 1.12\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$

• Rauscheffektivwert $\sigma_d \approx = 0.2 \, {\rm V}$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}\approx 31.36\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \approx 15\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

System B verwendet AMI–Codierung. Hier treten die äußeren Symbole $„+1”$ bzw, $„–1”$ nur isoliert auf. Bei drei aufeinanderfolgenden Symbolen sind unter Anderem die zwei Folgen $„ \, ... \, , \, +1, \, +1, \, +1, \, ... \,”$ und $„ \, ... \, , \, +1, \, 0, \, +1, \, ... \ ”$ nicht möglich im Gegensatz zu $„ \, ... \, , \, +1, \, –1, \, +1, \, ... \,”$

System C verwendet Duobinärcode. Hier wird die alternierende Folge $„ \, ... \, , \, –1, \, +1, \, –1, \, ... \,”$ durch den Code ausgeschlossen, was sich günstig auf die Augenöffnung auswirkt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:

$${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$

$${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) = 0.0228.$$

Hinweise:

• Diese Aufgabe bezieht sich auf das KapitelImpulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung.
• Nicht alle der hier angegebenen Zahlenwerte sind zur Lösung dieser Aufgabe erforderlich.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die halbe Augenöffnung für den AMI–Code.

${\rm System \, B}: \, \ddot{o}(T_{\rm D})/2$ = ${\rm V}$

2

Berechnen Sie den ungünstigsten Störabstand dieses Systems.

${\rm System \, B}: \, 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U}$ = ${\rm dB}$

3

Wie müssen die Schwellenwerte $E_1$ und $E_2$ gewählt werden, damit das soeben berechnete Ergebnis stimmt?

$E_1$ = ${\rm V}$

$E_2$ = ${\rm V}$

4

Berechnen Sie die halbe Augenöffnung beim Duobinär–Code.

${\rm System \, C}: \, \ddot{o}(T_{\rm D})/2$ = ${\rm V}$

5

Berechnen Sie den ungünstigsten Störabstand bei Duobinärcodierung.

${\rm System \, C}: \, 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U}$ = ${\rm dB}$

Musterlösung

Solution

(1)  Da beim AMI–Code die Symbolrate gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem nicht verändert wird, bleiben die Grundimpulswerte $g_0 = 1.56 \, {\rm V}, g_1 = g_{\rm –1} = 0.22 \, {\rm V}$ und $g_2 = g_{\rm –2} \approx 0$ unverändert.

Bei Pseudoternärcodierung gibt es stets zwei Augenöffnungen. Die obere Begrenzungslinie des oberen Auges ergibt sich beim AMI–Code wie beim redundanzfreien Binärsystem:

$$d_{\rm oben}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm Folge:}-1, +1, -1{\rm )} \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen gilt für die untere Begrenzungslinie des oberen Auges:

$$d_{\rm unten}= g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm Folge:}\hspace{0.2cm}0, \hspace{0.05cm}0, +1\hspace{0.2cm}{\rm bzw.}\hspace{0.2cm}+1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}0{\rm )}\hspace{0.05cm}.$$

Für die halbe Augenöffnung gilt somit:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} - d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot g_0 - {3}/{2} \cdot g_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.45\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Die entsprechende Gleichung für das redundanzfreie Binärsystem lautet:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Bezüglich des Rauschens gibt es keinen Unterschied zwischen den Systemen A, B und C, da stets die gleiche Symbolrate vorliegt. Daraus folgt für den AMI–Code:

$$\rho_{\rm U} = \frac{(0.45\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} = 5.06 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Einbuße gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem beträgt somit fast $8 \, {\rm dB}$. Der Grund für diesen gravierenden Störabstandverlust ist, dass beim AMI–Code trotz $37 %$ Redundanz die bezüglich der Impulsinterferenzen besonders ungünstige Symbolfolge $" \, ... \, , \, –1, \, +1, \, –1, \, ... \,"$ nicht ausgeschlossen wird.

(3)  Die Schwelle $E_2$ muss in der Mitte zwischen $d_{\rm oben}$ und $d_{\rm unten}$ liegen:

$$E_2= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} + d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot (g_0 - g_1 ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.67\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Der Schwellenwert $E_1$ liegt symmetrisch dazu: $E_1 \, \underline {= \, –0.67 {\rm V}}$.

(4)  Wir gehen wieder von den gleichen Grundimpulswerten aus. Die ungünstigste Folge bezüglich der oberen Begrenzungslinie des oberen Auges ist $" \, ... \, , \, 0, \, +1, \, 0, \, ... \, "$, während die untere Begrenzungslinie durch $" \, ... \, , \, 0, \, 0, \, +1, \, ... \, "$ bzw. $" \, ... \, , \, +1, \, 0, \, 0, \, ... \, "$ bestimmt wird. Daraus folgt:

$$d_{\rm oben}= g_0, \hspace{0.2cm} d_{\rm unten} = g_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2} = {g_0}/{2} - {g_1}/{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.67\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Mit dem Ergebnis aus 4) erhält man analog zur Teilaufgabe 2)

$$\rho_{\rm U} = \frac{(0.67\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} = 11.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 10.5\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$

Voraussetzung für dieses Ergebnis sind Schwellenwerte bei

$$E_2= {1}/{2} \cdot (g_0 + g_1 ) = 0.89\,{\rm V}, \hspace{0.2cm}E_1 = - 0.89\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Anzumerken ist, dass hier stets von der gleichen Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$ ausgegangen wurde. Bei Optimierung der Grenzfrequenz kann es durchaus sein, dass der Duobinärcode dem redundanzfreien Binärcode überlegen ist, wenn die charakteristische Kabeldämpfung hinreichend groß ist.