Aufgaben:Exercise 3.12: Trellis Diagram for Two Precursors

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Trellisdiagramm für 2 Vorläufer

Wir gehen von den Grundimpulswerten $g_0$, $g_{\rm –1}$ und $g_{\rm –2}$ aus. Das bedeutet, dass die Entscheidung über das Symbol $a_{\rm \nu}$ auch durch die nachfolgenden Koeffizienten $a_{\rm \nu +1}$ und $a_{\rm \nu +2}$ beeinflusst wird. Damit sind für jeden Zeitpunkt $\nu$ genau $8$ Fehlergrößen $\epsilon_{\rm \nu}$ zu berechnen, aus denen die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(00)$, ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$, ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(10)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(11)$ berechnet werden können. Hierbei liefert beispielsweise ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$ Information über das Symbol $a_{\rm \nu}$ unter der Annahme, dass $a_{\rm \nu +1} = 0$ und $a_{\rm \nu +2} = 1$ sein werden. Die minimale Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$ ist hierbei der kleinere Wert aus dem Vergleich von

$${\it \Gamma}_{\nu-1}(00) + \varepsilon_{\nu}(001) \hspace{0.15cm}{\rm und}

\hspace{0.15cm}{\it \Gamma}_{\nu-1}(10) + \varepsilon_{\nu}(101).$$

Zur Berechnung der minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(10)$ in den Teilaufgaben (1) und (2) soll von folgenden Zahlenwerten ausgegangen werden:

• unipolare Amplitudenkoeffizienten: $a_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$,
• Grundimpulswerte $g_0 = 0.5$, $g_{\rm –1} = 0.3$, $g_{\rm –2} = 0.2$,
• anliegender Detektionsabtastwert: $d_2 = 0.2$,
• Minimale Gesamtfehlergrößen zum Zeitpunkt $\nu = 1$:

$${\it \Gamma}_{1}(00) = 0.0,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(01) = 0.2, \hspace{1cm} {\it \Gamma}_{1}(10) = 0.6,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) =

1.2
\hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist das vereinfachte Trellisdiagramm für die Zeitpunkte $\nu = 1$ bis $\nu = 8$ dargestellt. Blaue Zweige kommen entweder von ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(00)$ oder von ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(01)$ und kennzeichnen eine hypothetische „$0$”. Dagegen weisen alle roten Zweige – ausgehend von den Zuständen ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(10)$ bzw. ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(11)$ – jeweils auf das Symbol „$1$” hin

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel Viterbi–Empfänger.
• Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.
• Die hier angesprochene Thematik wird auch im folgenden Interaktionsmodul behandelt: Eigenschaften des Viterbi–Empfängers.

Fragebogen

1 Berechnen Sie die folgenden Fehlergrößen:

$\epsilon_2(010)$ =

$\epsilon_2(011)$ =

$\epsilon_2(110)$ =

$\epsilon_2(111)$ =

2 Berechnen Sie die folgenden minimalen Gesamtfehlergrößen:

${\it \Gamma}_2(10)$ =

${\it \Gamma}_2(11)$ =

3 Wie lauten die vom Viterbi–Empfänger ausgegebene Symbole?

	Die ersten sieben Symbole sind $1011010$.
	Die ersten sieben Symbole sind $1101101$.
	Das letzte Symbol $a_8 = 1$ ist sicher.
	Über das Symbol $a_8$ ist noch keine endgültige Aussage möglich.

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.