'''(2)''' Die Fehlergrößen $\epsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm –1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten). Man erkennt $g_{\rm –1} \underline {= 0.4}$. Aus den Gleichungen für $\nu = 1$ ist der Hauptwert $g_0 \underline {= 0.6}$ ablesbar.
'''(2)''' Die Fehlergrößen $\varepsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm –1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten). Man erkennt $g_{\rm –1}\ \underline {= 0.4}$. Aus den Gleichungen für $\nu = 1$ ist der Hauptwert $g_0 \ \underline {= 0.6}$ ablesbar.
'''(3)''' Die möglichen Nutzabtastwerte sind $±g_0 ±g_{\rm –1} = ±0.6 ±0.4$, also $\underline {±0.2}$ und $\underline {±1.0}$. Bei unipolarer Signalisierung würden sich die Werte $0, \ 0.4, \ 0.6$ und $1$ ergeben. Der Zusammenhang zwischen bipolaren Werten $b_i$ und den unipolaren Äquivalenten $u_i$ lautet allgemein:
'''(3)''' Richtig sind die Lösungsvorschläge <u>1 und 4</u>:
:$$b_i = 2 \cdot u_i - 1 \hspace{0.05cm}.$$
*Die möglichen Nutzabtastwerte sind $\pm g_0 \pm g_{\rm –1} = \pm 0.6 \pm0.4$, also $\underline {±0.2}$ und $\underline {±1.0}$.
*Bei unipolarer Signalisierung ⇒ $a_\nu \in \{0, \hspace{0.05cm} 1\}$ würden sich dagegen die Werte $0, \ 0.4, \ 0.6$ und $1$ ergeben.
*Der Zusammenhang zwischen bipolaren Werten $b_i$ und den unipolaren Äquivalenten $u_i$ lautet allgemein: $b_i = 2 \cdot u_i - 1 \hspace{0.05cm}.$
${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ ist die minimale Gesamtfehlergröße unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = +1$ sein wird. Unter dieser Annahme ist $a_2 = \ –1$ wahrscheinlicher als $a_2 = +1$, wie aus dem nachfolgenden Trellisdiagramm hervorgeht (der ankommende Pfad ist blau).
[[File:P_ID1480__Dig_Z_3_11d.png|right|frame|Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen]]
<br>Im nebenstehenden Trellisdiagramm ist der Zustand „$1$” als „$+1$” und „$0$” als „$–1$” zu interpretieren.
[[File:P_ID1480__Dig_Z_3_11d.png|center|frame|Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen]]
Dann gilt:
*${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ ist die minimale Gesamtfehlergröße unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = +1$ sein wird.
*Unter dieser Annahme ist $a_2 = \ –1$ wahrscheinlicher als $a_2 = +1$, wie aus dem Trellisdiagramm hervorgeht (der ankommende Pfad ist blau).
*Eine realistische Alternative zur Kombination „$a_2 = \ –1, a_3 = +1$” ist „$a_2 = +1, a_3 = \ –1$”, die zur minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(–1) = 0.37$ führen. Hier ist der ankommende Pfad rot.
<u>Hinweis:</u> In obenstehender Grafik ist der Zustand „$1$” als „$+1$” und „$0$” als „$–1$” zu interpretieren.
Eine durchaus realistische Alternative zu der Kombination „$a_2 = \ –1, a_3 = +1$” ist „$a_2 = +1, a_3 = \ –1$”, die zur minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(–1) = 0.37$ führen. Hier ist der ankommende Pfad rot.
'''(5)''' Für den Zeitpunkt $\nu = 3$ gelten folgende Gleichungen:
Bei beiden Gleichungen ist der jeweils erste Term der kleinere, wobei jeweils ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ enthalten ist. Deshalb wird der Viterbi–Empfänger mit Sicherheit $a_3 = +1$ ausgeben, ganz egal, welche Informationen er zu späteren Zeitpunkten ($\nu > 3$) noch bekommen wird.
*Bei beiden Gleichungen ist der jeweils erste Term der kleinere, wobei jeweils ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ enthalten ist.
*Deshalb wird der Viterbi–Empfänger mit Sicherheit $a_3 = +1$ ausgeben, ganz egal, welche Informationen er zu späteren Zeitpunkten ($\nu > 3$) noch bekommen wird.
Verfolgt man den durchgehenden Pfad im Trellisdiagramm, so sind durch diese Festlegung bei $\nu = 3$ auch die früheren Amplitudenkoeffizienten fix: $a_1 = a_2 = \ –1$.
Verfolgt man den durchgehenden Pfad im Trellisdiagramm, so sind durch die Festlegung $a_3 = +1$ auch die anderen Amplitudenkoeffizienten fix:
Für die in der Aufgabe 3.11 behandelte Maximum–Likelihood–Konstellation mit bipolaren Amplitudenkoeffizient $a_{\rm \nu} ∈ \{+1, –1\}$ sollen die Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ sowie die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(–1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$ ermittelt werden.
Der Grundimpuls ist durch die beiden Werte $g_0$ und $g_{\rm –1}$ gegeben. Diese können ebenso wie die Detektionsabtastwerte $d_0$ und $d_1$ aus den nachfolgenden Berechnungen für die Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ zu den Zeitpunkten $\nu = 0$ und $\nu = 1$ entnommen werden. Anzumerken ist, dass vor der eigentlichen Nachricht ($a_1$, $a_2$, $a_3$) stets das Symbol $a_0 = 0$ gesendet wird. Für den Zeitpunkt $\nu = 0$ gilt:
Daraus könnte bereits zum Zeitpunkt $\nu = 0$ geschlossen werden, dass mit großer Wahrscheinlichkeit $a_1 = -\hspace{-0.05cm}1$ ist. Für den Zeitpunkt $\nu = 1$ ergeben sich folgende Fehlergrößen:
Die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(-\hspace{-0.07cm}1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$, die mit diesen sechs Fehlergrößen berechnet werden können, sind bereits in der Grafik eingezeichnet. Die weiteren Detektionsabtastwerte sind $d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}
d_{3}=0.5 \hspace{0.05cm}.$
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Alle Größen sind hier normiert zu verstehen. Gehen Sie izudem von biipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: ${\rm Pr} (a_\nu = -\hspace{-0.05cm}1) = {\rm Pr} (a_\nu = +1)= 0.5.$
(1) Aus den Gleichungen auf der Angabenseite erkennt man $d_0 = \underline{–0.4}$ und $d_1 = \underline {–0.8}$.
(2) Die Fehlergrößen $\varepsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm –1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten). Man erkennt $g_{\rm –1}\ \underline {= 0.4}$. Aus den Gleichungen für $\nu = 1$ ist der Hauptwert $g_0 \ \underline {= 0.6}$ ablesbar.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:
Die möglichen Nutzabtastwerte sind $\pm g_0 \pm g_{\rm –1} = \pm 0.6 \pm0.4$, also $\underline {±0.2}$ und $\underline {±1.0}$.
Bei unipolarer Signalisierung ⇒ $a_\nu \in \{0, \hspace{0.05cm} 1\}$ würden sich dagegen die Werte $0, \ 0.4, \ 0.6$ und $1$ ergeben.
Der Zusammenhang zwischen bipolaren Werten $b_i$ und den unipolaren Äquivalenten $u_i$ lautet allgemein: $b_i = 2 \cdot u_i - 1 \hspace{0.05cm}.$
(4) Die Fehlergrößen ergeben sich für $\nu = 2$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus (3) wie folgt:
Im nebenstehenden Trellisdiagramm ist der Zustand „$1$” als „$+1$” und „$0$” als „$–1$” zu interpretieren.
Dann gilt:
${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ ist die minimale Gesamtfehlergröße unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = +1$ sein wird.
Unter dieser Annahme ist $a_2 = \ –1$ wahrscheinlicher als $a_2 = +1$, wie aus dem Trellisdiagramm hervorgeht (der ankommende Pfad ist blau).
Eine realistische Alternative zur Kombination „$a_2 = \ –1, a_3 = +1$” ist „$a_2 = +1, a_3 = \ –1$”, die zur minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(–1) = 0.37$ führen. Hier ist der ankommende Pfad rot.
(5) Für den Zeitpunkt $\nu = 3$ gelten folgende Gleichungen:
Bei beiden Gleichungen ist der jeweils erste Term der kleinere, wobei jeweils ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ enthalten ist.
Deshalb wird der Viterbi–Empfänger mit Sicherheit $a_3 = +1$ ausgeben, ganz egal, welche Informationen er zu späteren Zeitpunkten ($\nu > 3$) noch bekommen wird.
Verfolgt man den durchgehenden Pfad im Trellisdiagramm, so sind durch die Festlegung $a_3 = +1$ auch die anderen Amplitudenkoeffizienten fix:
