Aufgaben:Exercise 4.2: AM/PM Oscillations

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AM/PM-Schwingungen

Wir betrachten verschiedene Signalmengen $\{s_i(t)\}$ mit der Laufvariablen $i = 1, \ ... \, M$, die alle in gleicher Weise dargestellt werden können:

$$s_i(t) = \left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Die Signaldauer $T$ ist dabei ein ganzzahliges Vielfaches von $1/f_{\rm T}$, wobei $1/f_{\rm T}$ die Signalfrequenz (Trägerfrequenz) angibt.

Für die Skizze beträgt die Dauer der energiebegrenzten Signale jeweils $T = 4/f_{\rm T}$, das heißt, man erkennt jeweils genau vier Schwingungen innerhalb von $T$. Die einzelnen Signale $s_i(t)$ unterscheiden sich in der Amplitude ($A_i$) und/oder der Phase ($\phi_i$). Für die beiden ersten (in der Grafik dargestellten) Signale gilt:

$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) \hspace{0.05cm},$$

$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \pi/4) \hspace{0.05cm}. $$

Beschränkt man sich zunächst auf diese beiden Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$, so kann man diese durch die Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ vollständig beschreiben. Diese sind orthonormal zueinander, das heißt, unter Berücksichtigung der Zeitbegrenzung auf $T$ gilt:

$$\int_{0}^{T}\varphi_1^2(t) \, {\rm d} t = \int_{0}^{T}\varphi_2^2(t) \, {\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \int_{0}^{T}\varphi_1(t) \cdot \varphi_2(t)\, {\rm d} t = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Mit diesen Basisfunktionen lassen sich die beiden Signale wie folgt darstellen:

$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{11} \cdot \varphi_1(t) \hspace{0.05cm},$$

$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$

In der Teilaufgabe (7) soll überprüft werden, ob sich alle Signale $s_i(t)$ gemäß der obigen Definition (mit beliebiger Amplitude $A_i$ und beliebiger Phase $\phi_i$) durch die folgende Gleichung beschreiben lassen:

$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$

Die Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ sollen hier durch das Gram–Schmidt–Verfahren gefunden werden, das im Theorieteil ausführlich beschrieben wurde. Die erforderlichen Gleichungen sind hier nochmals zusammengestellt:

$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm} s_{11} = ||s_1(t)|| = \sqrt{\int_{0}^{T}s_1^2(t) \, {\rm d} t} \hspace{0.05cm},$$

$$s_{21} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = \int_{0}^{T}s_2(t) \cdot \varphi_1(t)\, {\rm d} t \hspace{0.05cm},$$

$$\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel Signale, Basisfunktionen und Vektorräume.
• Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
• Desweiteren ist die folgende trigonometrische Beziehung gegeben:

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta)\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Wie groß ist die Energie und die 2–Norm des Signals $s_1(t)$, ausgedrückt mit $E$?

$E_1$ = $\ \cdot E$

$||s_1(t)||$ = $\ \cdot E^{\rm 0.5}$

2

Wie lautet die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ nach Gram–Schmidt?

	$\varphi_1(t) = E^{\rm 0.5} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$,
	$\varphi_1(t) = cos(2\pi f_{\rm T}t)$,
	$\varphi_1(t) = (2/T)^{\rm 0.5} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$.

3

Welcher Zusammenhang besteht zwischen $s_1(t)$ und $\varphi_1(t)$?

	$s_1(t) = E^{\rm 0.5} \cdot \varphi_1(t)$,
	$s_1(t) = A \cdot \varphi_1(t)$,
	$s_1(t) = (T/2)^{\rm 0.5} \cdot \varphi_1(t)$.

4

Wie lautet das innere Produkt $s_{\rm 21} = 〈 s_2(t) \cdot \varphi_1(t)〉$?

$s_{\rm 21}$ = $\ E^{\rm 0.5}$

5

Wie lautet die Hilfsfunktion $\theta_2(t)$?

	$\theta_2(t) = +2^{\rm 0.5} \cdot A \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$,
	$\theta_2(t) = \, –2^{\rm 0.5} \cdot A \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$,
	$\theta_2(t) = (2/T)^{\rm 0.5} \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$.

6

Gegen Sie die Koeffizienten von $s_2(t) = s_{\rm 21} \cdot \varphi_1(t) + s_{\rm 22} \cdot \varphi_2(t)$ an.

$s_{\rm 21}$ = $\ E^{\rm 0.5}$

$s_{\rm 22}$ = $\ E^{\rm 0.5}$

7

Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge $\{s_i(t)\}$ mit $i = 1, \ ... \ , M$, wenn $M$ sehr viel größer als $2$ ist?

	Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets $N = M$.
	Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets $N = 2$.
	Mögliche Basisfunktionen sind Cosinus und (Minus–)Sinus.

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.