Aufgaben:Exercise 1.5: Cosine-Square Spectrum

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Cosinus-Quadrat-Nyquistspektrum

Betrachtet wird das Spektrum $G(f)$ mit cos$^{2}$–förmigem Verlauf entsprechend der Skizze. Dieses erfüllt das erste Nyquistkriterium:

$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f - \frac{k}{T} ) = {\rm const.}$$

Dementsprechend hat der zugehörige Impuls $g(t)$ Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T$, wobei $T$ noch zu bestimmen ist. Durch Fourierrücktransformation von $G(f)$ erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:

$$g( t )= g_0 \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.05cm}.$$

In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:

• Die hier betrachtete Spektralfunktion $G(f)$ ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums, das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz $f_{\rm Nyq}$ ist.
• Das Cosinus–Rolloff–Spektrum ist durch die Eckfrequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ vollständig gekennzeichnet. Für $| f | < f_{1}$ ist $G(f) = g_{0} \cdot T = const.$, während das Spektrum für $| f | > f_{2}$ keine Anteile besitzt.
• Der Zusammenhang zwischen der Nyquistfrequenz und den Eckfrequenzen lautet:

$$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }\hspace{0.05cm}.$$

• Die Flankensteilheit wird durch den so genannten Rolloff–Faktor charakterisiert:

$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.2cm}(0 \le r \le 1) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Eigenschaften von Nyquistsystemen.

Fragebogen

1

Welche Eckfrequenzen besitzt dieses Cosinus–Rolloff–Spektrum?

$f_{1} \ = \ $ $\ \rm MHz$

$f_{2} \ = \ $ $\ \rm MHz$

2

Wie groß sind die Nyquistfrequenz und der Rolloff–Faktor?

$f_{\rm Nyq} \ = \ $ $\ \rm MHz$

$r \ = \ $

3

In welchem zeitlichen Abstand $T$ besitzt $g(t)$ Nulldurchgänge?

$T \ = \ $ $\ \rm \mu s$

4

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	$g(t)$ erfüllt das erste Nyquistkriterium wegen des si–Terms.
	$g(t)$ besitzt weitere Nulldurchgänge bei $\pm 0.5T, \pm 1.5T, \pm 2.5 T, ...$
	Das cos$^{2}$–Spektrum erfüllt auch das zweite Nyquistkriterium.

5

Welchen (normierten) Wert besitzt der Impuls zum Zeitpunkt $t = T/2$?

$g(t = T/2)/g_{0} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)