Aufgaben:Exercise 3.12: Trellis Diagram for Two Precursors

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Trellisdiagramm für zwei Vorläufer

Wir gehen von den Grundimpulswerten $g_0$, $g_{\rm –1}$ und $g_{\rm –2}$ aus:

• Das bedeutet, dass die Entscheidung über das Symbol $a_{\rm \nu}$ auch durch die nachfolgenden Koeffizienten $a_{\rm \nu +1}$ und $a_{\rm \nu +2}$ beeinflusst wird.
• Damit sind für jeden Zeitpunkt $\nu$ genau acht Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}$ zu berechnen, aus denen die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(00)$, ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$, ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(10)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(11)$ berechnet werden können.
• Hierbei liefert beispielsweise ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$ Information über das Symbol $a_{\rm \nu}$ unter der Annahme, dass $a_{\rm \nu +1} = 0$ und $a_{\rm \nu +2} = 1$ sein werden.
• Die minimale Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$ ist hierbei der kleinere Wert aus dem Vergleich von

$$[{\it \Gamma}_{\nu-1}(00) + \varepsilon_{\nu}(001)] \hspace{0.15cm}{\rm und}

\hspace{0.15cm}[{\it \Gamma}_{\nu-1}(10) + \varepsilon_{\nu}(101)].$$

Zur Berechnung der minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(10)$ in den Teilaufgaben (1) und (2) soll von folgenden Zahlenwerten ausgegangen werden:

• unipolare Amplitudenkoeffizienten: $a_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$,
• Grundimpulswerte $g_0 = 0.5$, $g_{\rm –1} = 0.3$, $g_{\rm –2} = 0.2$,
• anliegender Detektionsabtastwert: $d_2 = 0.2$,
• Minimale Gesamtfehlergrößen zum Zeitpunkt $\nu = 1$:

$${\it \Gamma}_{1}(00) = 0.0,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(01) = 0.2, \hspace{1cm} {\it \Gamma}_{1}(10) = 0.6,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) =

1.2
\hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist das vereinfachte Trellisdiagramm für die Zeitpunkte $\nu = 1$ bis $\nu = 8$ dargestellt.

• Blaue Zweige kommen entweder von ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(00)$ oder von ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(01)$ und kennzeichnen eine hypothetische „$0$”.
• Dagegen weisen alle roten Zweige – ausgehend von den Zuständen ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(10)$ bzw. ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(11)$ – jeweils auf das Symbol „$1$” hin.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Viterbi–Empfänger.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Alle Größen sind hier normiert zu verstehen. Gehen Sie izudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: ${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$
• Die Thematik wird auch im Interaktionsmodul Eigenschaften des Viterbi–Empfängers behandelt.

Fragebogen

1 Berechnen Sie die folgenden Fehlergrößen:

$\varepsilon_2(010) \ = \ $

$\varepsilon_2(011) \ = \ $

$\varepsilon_2(110) \ = \ $

$\varepsilon_2(111) \ = \ $

2 Berechnen Sie die folgenden minimalen Gesamtfehlergrößen:

${\it \Gamma}_2(10) \ = \ $

${\it \Gamma}_2(11) \ = \ $

3 Wie lauten die vom Viterbi–Empfänger ausgegebene Symbole?

	Die ersten sieben Symbole sind $1011010$.
	Die ersten sieben Symbole sind $1101101$.
	Das letzte Symbol $a_8 = 1$ ist sicher.
	Über das Symbol $a_8$ ist noch keine endgültige Aussage möglich.

Musterlösung

Solution

(1)  Die erste Fehlergröße wird wie folgt berechnet:

$$\varepsilon_{2}(010) = [d_0 - 0 \cdot g_0 - 1 \cdot g_{-1}- 0 \cdot g_{-2}]^2= [0.2 -0.3]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.01}

 \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für die weiteren Fehlergrößen:

$$\varepsilon_{2}(011) \ = \ [0.2 -0.3- 0.2]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.09}\hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{2}(110) \ = \ [0.2 -0.5- 0.3]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.36}\hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{2}(111) \ = \ [0.2 -0.5- 0.3-0.2]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.64}

 \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Die Aufgabe ist, jeweils den minimalen von zwei Vergleichswerten zu finden:

$${\it \Gamma}_{2}(10) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(01) + \varepsilon_{2}(010),

\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) + \varepsilon_{2}(110)\right] = $$

$$\ = \ {\rm Min}\left[0.2+ 0.01, 1.2 + 0.36\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.21}

\hspace{0.05cm},$$

$${\it \Gamma}_{2}(11) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(01) + \varepsilon_{2}(011),

\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) + \varepsilon_{2}(111)\right] = $$

$$\ = \ {\rm Min}\left[0.2+ 0.09, 1.2 + 0.64\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.29}

\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig sind der erste und der letzte Lösungsvorschlag. Die Folge $1011010$ erkennt man aus dem durchgehenden Pfad:

1. Rot – Blau – Rot – Rot – Blau – Rot – Blau.

Dagegen kann über das Symbol $a_8$ zum Zeitpunkt $\nu = 8$ noch keine endgültige Aussage gemacht werden: Nur unter der Hypothese $a_9 = 1$ and $a_{\rm 10} = 1$ würde man sich für $a_8 = 0$ entscheiden, bei anderen Hypothesen für $a_8 = 1$.