Aufgaben:Exercise 2.4Z: Error Probabilities for the Octal System

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„Zufallscodierung” und Graycodierung für das Oktalsystem

Es wird ein Digitalsystem mit $M = 8$ Amplitudenstufen (Oktalsystem) betrachtet, dessen $M – 1 = 7$ Entscheiderschwellen genau bei den jeweiligen Intervallmitten liegen. Ein jeder der gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ $(1 ≤ \mu ≤ 8)$ kann nur in die unmittelbaren Nachbarkoeffizienten $a_{\mu–1}$ bzw. $a_{\mu+1}$ verfälscht werden und zwar in beiden Richtungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$. Hierzu einige Beispiele:

• $a_5$ geht mit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_4$ über und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit in den Koeffizienten $a_6$.
• $a_8$ wird mit der Wahrscheinlichkeit $p$ in den Koeffizienten $a_7$ verfälscht; in anderer Richtung ist keine Verfälschung möglich.

Die Zuordnung von jeweils drei binären Quellensymbolen in einen oktalen Amplitudenkoeffizienten geschieht alternativ entsprechend

• der zweiten Spalte in der angegebenen Tabelle, die „zufällig” – ohne Strategie – generiert wurde,
• der Graycodierung, die in Spalte 3 nur unvollständig angegeben und noch zu ergänzen ist.

Angegeben ist der Graycode für $M = 4$. Bei $M = 8$ sind die beiden letzten Binärzeichen an der gestrichelt eingezeichneten Linie zu spiegeln. Für die ersten vier Amplitudenkoeffizienten ist an der ersten Stelle ein L zu ergänzen, für $a_{5}, ..., a_{8}$ das Binärsymbol H.

Für die beiden Zuordnungen „Zufall” und „Gray” sollen berechnet werden:

• die $\color{red} {\rm Symbolfehlerwahrscheinlichkeit} \ p_{\rm S}$, die in beiden Fällen gleich ist; diese Größe gibt die mittlere Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Amplitudenkoeffizienten $a_{\rm mu}$ an,
• die $\color{red} {\rm Bitfehlerwahrscheinlichkeit} \ p_{\rm B}$ bezogen auf die (decodierten) Binärsymbole.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Themenbereich von Redundanzfreie Codierung.

Fragebogen

1

Welchem Amplitudenkoeffizienten $a_{ \mu}$ entsprechen beim Graycode die binären Folgen „LHH” bzw. „HLL”? Bitte Index $ \mu$ eingeben $(1 < \mu < 8)$.

$ \rm {LHH}: \mu \ = \ $

$ \rm {HLL}: \mu \ = \ $

2

Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkei

$p_{\rm S} \ = \ $ $\ \%$

3

Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für den Graycode.

$p_{\rm B} \ = \ $ $\ \%$

4

Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für den „Zufallscode”.

$p_{\rm B} \ = \ $ $\ \%$

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)