Aufgaben:Exercise 5.6: Error Correlation Duration

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Fehlerkorrelationsfunktion beim GE–Modell

Die Grafik zeigt die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) des Gilbert–Elliott–Modells mit den Parametern

$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,$$

$$ {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}$$

in logarithmierter Darstellung.

Dieses Modell wird in der Aufgabe Aufgabe Z5.6 ausführlich behandelt. Insbesondere wird in dieser Aufgabe auch die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) berechnet. Mit den Hilfsgrößen

$$A \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (p_{\rm B}- p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M}- p_{\rm G})\hspace{0.05cm},$$

$$B\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)$$

kann für diese geschrieben werden:

$$\varphi_{e}(k) = \left\{ \begin{array}{c} p_{\rm M} \\ p_{\rm M}^2 + A \cdot (1-B)^k \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k > 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

Hierbei handelt es sich um einen Bündelfehlerkanal. Zur quantitativen Beschreibung der statistischen Bindungen verwendet man oft die Korrelationsdauer gemäß der folgenden Definition:

$$D_{\rm K} = \frac{1}{\varphi_{e0} - p_{\rm M}^2} \cdot \sum_{k = 1 }^{\infty}\hspace{0.1cm} [\varphi_{e}(k) - p_{\rm M}^2]\hspace{0.05cm}.$$

Der Bezugswert $\varphi_{e0}$ ergibt sich dabei durch Extrapolation der Fehlerkorrelationsfunktion in den Punkt $k = 0$. Ist wie hier der FKF–Verlauf analytisch gegeben, so kann man $\varphi_{e0}$ auch dadurch berechnen, dass man in die eigentlich nur für $k > 0$ gültige Gleichung den Wert $k = 0$ einsetzt.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Bündelfehlerkanäle.

Fragebogen

1

Multiple-Choice

	correct
	false

2

Input-Box Frage

$xyz \ = \ $ $ab$

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)