Aufgaben:Exercise 5.6: Error Correlation Duration

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Fehlerkorrelationsfunktion beim GE–Modell

Die Grafik zeigt die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) des Gilbert–Elliott–Modells mit den Parametern

$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,$$

$$ {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}$$

in logarithmierter Darstellung.

Dieses Modell wird in der Aufgabe Aufgabe Z5.6 ausführlich behandelt. Insbesondere wird in dieser Aufgabe auch die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) berechnet. Mit den Hilfsgrößen

$$A \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (p_{\rm B}- p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M}- p_{\rm G})\hspace{0.05cm},$$

$$B\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)$$

kann für diese geschrieben werden:

$$\varphi_{e}(k) = \left\{ \begin{array}{c} p_{\rm M} \\ p_{\rm M}^2 + A \cdot (1-B)^k \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k > 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

Hierbei handelt es sich um einen Bündelfehlerkanal. Zur quantitativen Beschreibung der statistischen Bindungen verwendet man oft die Korrelationsdauer gemäß der folgenden Definition:

$$D_{\rm K} = \frac{1}{\varphi_{e0} - p_{\rm M}^2} \cdot \sum_{k = 1 }^{\infty}\hspace{0.1cm} [\varphi_{e}(k) - p_{\rm M}^2]\hspace{0.05cm}.$$

Der Bezugswert $\varphi_{e0}$ ergibt sich dabei durch Extrapolation der Fehlerkorrelationsfunktion in den Punkt $k = 0$. Ist wie hier der FKF–Verlauf analytisch gegeben, so kann man $\varphi_{e0}$ auch dadurch berechnen, dass man in die eigentlich nur für $k > 0$ gültige Gleichung den Wert $k = 0$ einsetzt.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Bündelfehlerkanäle.

Fragebogen

1

Welcher FKF–Wert gilt exakt für $k = 0$?

$\varphi_e(k = 0) \ = \ $ $\ \cdot 10^{–2}$

2

Wie groß ist der aus der gegebenen FKF extrapolierte Wert für $k = 0$?

$\varphi_{e0} \ = \ $ $\ \cdot 10^{–3}$

3

Welches Ergebnis erhält man für die Fehlerkorrelationsdauer $D_{\rm K}$ mit den vorne definierte Größen $A$ und $B$?

	$D_{\rm K} = A \cdot B$,
	$D_{\rm K} = 1/A \, –B$,
	$D_{\rm K} = 1/B \, –1$.

4

Welche Korrelationsdauer ergibt sich beim vorliegenden GE–Modell?

$D_{\rm K} \ = \ $

5

Welche Aussagen gelten bezüglich der Korrelationsdauer $D_{\rm K}$ des GE–Modells? Beachten Sie für Ihre Antwort die logarithmische Ordinate.

	$D_{\rm K}$ bleibt gleich, wenn man ${\rm Pr}({\rm B|G})$ und ${\rm Pr(G|B)}$ vertauscht.
	$D_{\rm K}$ hängt nur von der Summe ${\rm Pr(G|B) + Pr(B|G)}$ ab.
	Die rote Fläche in der Grafik ist gleich der blauen Rechteckfläche.

Musterlösung

Solution

(1)  Der FKF–Wert $\varphi_e(k = 0)$ gibt stets die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ an, während der FKF–Grenzwert für $k → ∞$ gleich $p_{\rm M}^2$ ist. Aus der Grafik auf der Angabenseite kann man $p_{\rm M} \ \underline {= 0.01}$ ablesen. In der Aufgabe Z5.6 wird dieser Wert auf anderem Wege berechnet.

(2)  Setzt man in die untere FKF–Gleichung, die eigentlich nur für $k > 0$ gültig ist, den Parameter $k = 0$ ein, so erhält man den gesuchten Extrapolationswert.

$$\varphi_{e0} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B}- p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M}- p_{\rm G})\hspace{0.05cm} = 10^{-4} + (0.1- 0.01) \cdot (0.01- 0.001)=$$

$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4} + 0.09 \cdot 0.009 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.91 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Nach der allgemeinen Definitionsgleichung gilt für die Fehlerkorrelationsdauer

$$D_{\rm K} = \frac{1}{\varphi_{e0} - p_{\rm M}^2} \cdot \sum_{k = 1 }^{\infty}\hspace{0.1cm} [\varphi_{e}(k) - p_{\rm M}^2]\hspace{0.05cm}.$$

Mit den Ausdrücken

$$A \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (p_{\rm B}- p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M}- p_{\rm G}) = \varphi_{e0} - p_{\rm M}^2\hspace{0.05cm},$$

$$B\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)$$

lässt sich diese Gleichung wie folgt schreiben:

$$D_{\rm K} = {1}/{A} \cdot \sum_{k = 1 }^{\infty}\hspace{0.1cm} A \cdot (1 - B)^k = \sum_{k = 1 }^{\infty}\hspace{0.1cm} (1 - B)^k\hspace{0.05cm}.$$

Mit der Summenformel einer geometrischen Reihe ergibt sich daraus das Endergebnis:

$$D_{\rm K} = {1}/{B} - 1 = \frac{1}{{\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)} - 1\hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist also der letzte Lösungsvorschlag.

(4)  Mit ${\rm Pr(B|G)} = 0.01$ und ${\rm Pr(G|B)} = 0.1$ ergibt sich

$$D_{\rm K} = \frac{1}{0.01 + 0.1} - 1 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 8.091}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Richtig ist nur der erste Lösungsvorschlag, wie in den Musterlösungen zu den letzten Teilaufgaben gezeigt wurde. Damit liegt aber nur die Korrelationsdauer fest. Mit ${\rm Pr(B|G)} = 0.1$ und $\rm Pr(G|B) = 0.01$ ergibt sich zwar das gleiche $D_{\rm K} = 8.091$ wie mit $\rm Pr(B|G) = 0.01$ und $\rm Pr(G|B) = 0.1$. Aber nun ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} \approx 9.1\%$ statt $1\%$, jeweils für $p_{\rm G} = 0.001$ und $p_{\rm B} = 0.1$.

Auch die letzte Aussage ist falsch. Diese Aussage würde nur dann gelten, wenn $\varphi_e(k)$ linear aufgetragen wäre und nicht wie hier logarithmisch.