Aufgaben:Exercise 2.3Z: Polynomial Division: Difference between revisions

Revision as of 17:52, 15 December 2017

Zur Multiplikation und Division von $\rm GF(2)$–Polynomen

In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Multiplikation und insbesondere der Division von Polynomen im Galoisfeld $\rm GF(2)$. In der Abbildung ist jeweils die Vorgehensweise an einem einfachen und selbsterklärenden Beispiel verdeutlicht:

Die Multiplikation der beiden Polynome $x^2 + 1$ und $x +1$ liefert das Ergebnis $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.
Die Division des Polynoms $a(x) = x^3$ durch $p(x) = x + 1$ liefert den Quotienten $q(x) = x^2 + x$ und den Rest $r(x) = x$.
Man kann das letztere Ergebnis wie folgt überprüfen:

$$a(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}= $$

$$\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}[(x+1) \cdot (x^2+x)] +x =$$

$$\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}[x^3+ x^2+x^2+ x] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Erweiterungskörper.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) (2) (3) (4) (5)

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-{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper
+{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper}}
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+In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Multiplikation und insbesondere der Division von Polynomen im Galoisfeld $\rm GF(2)$. In der Abbildung ist jeweils die Vorgehensweise an einem einfachen und selbsterklärenden Beispiel verdeutlicht:
+* Die Multiplikation der beiden Polynome $x^2 + 1$ und $x +1$ liefert das Ergebnis $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.
+* Die Division des Polynoms $a(x) = x^3$ durch $p(x) = x + 1$ liefert den Quotienten $q(x) = x^2 + x$ und den Rest $r(x) = x$.
+* Man kann das letztere Ergebnis wie folgt überprüfen:
+:$$a(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}= $$
+:$$\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}[(x+1) \cdot (x^2+x)] +x =$$
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 ===Musterlösung===
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