Aufgaben:Exercise 5.6Z: Gilbert-Elliott Model

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GE–Modell

Wir betrachten das Bündelfehler–Kanalmodell nach E.N. Gilbert und E.O. Elliott (siehe Skizze). Für die Übergangswahrscheinlichkeiten soll dabei gelten:

$${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)= 0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$

Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand „GOOD” betrage $p_{\rm G} = 0.1\%$ und für die im Zustand „BAD” gelte $p_{\rm B} = 10\%$. Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen weitere Kenngrößen ermittelt werden:

• die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$,
• die Zustandswahrscheinlichkeiten $w_{\rm G} = \rm Pr(Z = G)$ und $w_{\rm B} = \rm Pr(Z = B)$,
• die Werte der Korrelationsfunktion, die für $k > 0$ analytisch wie folgt gegeben ist:

$$\varphi_{e}(k) = p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B} - p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M} - p_{\rm G}) \cdot [1 - {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )- {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]^{\it k} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Bündelfehlerkanal des vorliegenden Buches sowie auf das Kapitel Markovketten im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Wie lauten die folgenden Übergangswahrscheinlichkeiten?

$\rm Pr(G|G) \ = \ $

$\rm Pr(B|B) \ = \ $

2

Mit welchen Wahrscheinlichkeiten befindet sich das GE–Modell im Zustand „GOOD” ($w_{\rm G}$) bzw. im Zustand „BAD” ($w_{\rm B}$)?

$w_{\rm G} \ = \ $

$w_{\rm B} \ = \ $

3

Berechnen Sie die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit.

$p_{\rm M} \ = \ $

4

Berechnen Sie die folgenden FKF–Werte:

$\varphi_e(k = 1) \ = \ $ $\ \cdot 10^{–4}$

$\varphi_e(k = 2) \ = \ $ $\ \cdot 10^{–4}$

$\varphi_e(k = 5) \ = \ $ $\ \cdot 10^{–4}$

$\varphi_e(k = 50) \ = \ $ $\ \cdot 10^{–4}$

5

Wie groß ist der FKF–Wert $\varphi_e(k = 0)$?

$\varphi_e(k = 0) \ = \ $ $\ \cdot 10^{–2}$

6

Lässt sich die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = 0.005$ erreichen durch

	alleinige Änderung von $p_{\rm G}$,
	alleinige Änderung von $p_{\rm B}$,
	alleinige Änderung von $\rm Pr(G|B)$,
	alleinige Änderung von $\rm Pr(B|G)$?

Musterlösung

Solution

(1)  Es gilt $\rm Pr(G|G) = 1 \, –Pr(B|G) \ \underline {= 0.99}$ sowie $\rm Pr(B|B) = 1 \, –Pr(G|B) \ \underline {= 0.9}$.

(2)  Das GE–Modell ist eine stationäre Markovkette. Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich diese im Zustand „GOOD” befindet, gilt unter Berücksichtigung des Ergebnisses der Teilaufgabe (1):

$$w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot w_{\rm B}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot w_{\rm B} \hspace{0.05cm}.$$

Weiter gilt $w_{\rm B} = 1 \, –w_{\rm G}$:

$${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} w_{\rm G} = \frac{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = \frac{0.1}{0.1 + 0.01} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.909} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.091}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ ergibt sich aus den Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm G}$ und $p_{\rm B}$, gewichtet mit $w_{\rm G}$ und $w_{\rm B}$:

$$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B} = \frac{10}{11} \cdot 10^{-3} + \frac{1}{11} \cdot 10^{-1}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.01}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Entsprechend der allgemeinen Gleichung auf dem Angabenblatt gilt für $k > 0$:

$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B} - p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M} - p_{\rm G}) \cdot [1 - {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )- {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]^{\it k} =$$

$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4} + 0.09 \cdot 0.009 \cdot 0.89^{\it k} = 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{\it k} \right )\hspace{0.05cm}.$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{e}(k = 1 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 1} \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 8.209 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm},$$

$$\varphi_{e}(k = 2 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 2} \right )\hspace{0.15cm}\underline { = 7.416 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm},$$

$$\varphi_{e}(k = 5 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 5} \right )\hspace{0.15cm}\underline {= 5.523 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm},$$

$$\varphi_{e}(k = 50 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 50} \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 1.024 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Für jedes Kanalmodell gilt wegen $e_{\nu} ∈ \{0, 1\}$:

$$\varphi_{e}(k = 0 ) = {\rm E}[e_{\nu} ^2] = {\rm E}[e_{\nu} ] = p_{\rm M} \hspace{0.05cm}.$$

Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) ergibt sich für den vorliegenden Fall $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$.

(6)  Entsprechend der Teilaufgabe (3) gilt

$$p_{\rm M} = {10}/{11} \cdot p_{\rm G} + {1}/{11} \cdot p_{\rm B} \hspace{0.05cm}.$$

Bei vorgegebenem $p_{\rm B} = 0.1$ ergibt sich selbst für $p_{\rm G} = 0$ (kein Fehler im Zustand „G”) die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu $p_{\rm M} \approx 0.009$. Dagegen ist mit festem $p_{\rm G} = 0.001$ der Wert $p_{\rm M} = 0.005$ erreichbar:

$$0.005 = {10}/{11} \cdot 10^{-3} + {1}/{11} \cdot p_{\rm B} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} \le 0.055 - 0.1 = 4.5\%\hspace{0.05cm}.$$

Weiterhin kann die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit (mit vorgegebenem $p_{\rm G}$ und $p_{\rm B}$) auch wie folgt dargestellt werden:

$$p_{\rm M} = \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = \frac{0.001 \cdot {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)+ 0.1 \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}\hspace{0.05cm}.$$

Mit $\rm Pr(B|G) = 0.01$ bzw. mit $\rm Pr(G|B) = 0.1$ erhält man folgende Gleichungen:

$${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{-0.15cm}:\hspace{0.2cm} {\it p}_{\rm M} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{0.001 \cdot {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)+ 0.001 }{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + 0.01}\hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = 0.1\hspace{-0.15cm}:\hspace{0.2cm}{\it p}_{\rm M} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{0.0001 + 0.1 \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{0.1 +{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) }\hspace{0.05cm}.$$

Aus der oberen Gleichung ist zu erkennen, dass mit keinem $\rm Pr(G|B)$–Wert das Ergebnis $p_{\rm M} = 0.005$ möglich ist. Dagegen lässt sich durch ein kleineres $\rm Pr(B|G)$ die Bedingung erfüllen:

$$0.005 = \frac{0.0001 + 0.1 \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{0.1 +{\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \le \frac{0.0004}{0.095} \approx 0.0042\hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 4.