Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.11: On-Off Keying and Binary Phase Shift Keying"
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Die Grafik zeigt Signalraumkonstellationen für trägermodulierte Modulationsverfahren: | Die Grafik zeigt Signalraumkonstellationen für trägermodulierte Modulationsverfahren: | ||
− | * ''On–Off–Keying'' (OOK), in | + | * ''On–Off–Keying'' (OOK), in manchen Büchern auch als <i>Amplitude Shift Keying</i> (ASK) bezeichnet, sowie |
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− | '''(1)''' Sowohl OOK als auch BPSK sind binäre Modulationsverfahren: | + | '''(1)''' Sowohl ''On–Off–Keying'' (OOK) als auch ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK) sind binäre Modulationsverfahren: |
:$$\underline{b = 1 }\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{M = 2} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\underline{b = 1 }\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{M = 2} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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'''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, erkennbar an der imaginären Basisfunktion $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$. Bei Beschreibung im Bandpassbereich wären die Basisfunktionen cosinus– und (minus–)sinusförmig reell. | '''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, erkennbar an der imaginären Basisfunktion $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$. Bei Beschreibung im Bandpassbereich wären die Basisfunktionen cosinus– und (minus–)sinusförmig reell. | ||
− | '''(3)''' Die vorgegebene Gleichung lautet bei On–Off–Keying (OOK) mit $d = \sqrt {E}$, $E_{\rm S} = E/2$ (wobei gleichwahrscheinliche Symbole $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ vorausgesetzt sind) und $\sigma_n^2 = N_0/2$: | + | '''(3)''' Die vorgegebene Gleichung lautet bei ''On–Off–Keying'' (OOK) mit $d = \sqrt {E}$, $E_{\rm S} = E/2$ (wobei gleichwahrscheinliche Symbole $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ vorausgesetzt sind) und $\sigma_n^2 = N_0/2$: |
:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right )= {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E}/2}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ \frac{ E/2}{ N_0} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) | :$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right )= {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E}/2}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ \frac{ E/2}{ N_0} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) | ||
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Für $E_{\rm S}/N_0 = 9 = 3^2$ ergibt sich somit: | Für $E_{\rm S}/N_0 = 9 = 3^2$ ergibt sich somit: | ||
− | :$$p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 3} \cdot {\rm e}^{-9/2} = \underline{ | + | :$$p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 3} \cdot {\rm e}^{-9/2} = \underline{14.8 \cdot 10^{-4}} |
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− | '''(4)''' Im Unterschied zur Teilaufgabe (3) gilt | + | '''(4)''' Im Unterschied zur Teilaufgabe (3) gilt ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK) $d = 2 \cdot \sqrt {E}$ und $E_{\rm S} = E$, beides sogar unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten für $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$. Daraus folgt: |
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) | :$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) | ||
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Mit $E_{\rm S}/N_0 = 9$ ergibt sich daraus der Zahlenwert: | Mit $E_{\rm S}/N_0 = 9$ ergibt sich daraus der Zahlenwert: | ||
− | :$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{18}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 18} } \cdot {\rm e}^{-18/2} = \underline{ | + | :$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{18}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 18} } \cdot {\rm e}^{-18/2} = \underline{117 \cdot 10^{-8}} \hspace{0.05cm},$$ |
und mit $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ \rm dB$ ⇒ $2E_{\rm S}/N_0 = 31.7$: | und mit $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ \rm dB$ ⇒ $2E_{\rm S}/N_0 = 31.7$: |
Revision as of 18:26, 22 November 2017
Die Grafik zeigt Signalraumkonstellationen für trägermodulierte Modulationsverfahren:
- On–Off–Keying (OOK), in manchen Büchern auch als Amplitude Shift Keying (ASK) bezeichnet, sowie
- Binary Phase Shift Keying (BPSK).
Für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit gehen wir vom AWGN–Kanal aus. In diesem Fall ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (bezogen auf Symbole oder auf Bit gleichermaßen):
- $$p_{\rm S} = p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnet
- $d$ den Abstand der Signalraumpunkte, und
- $\sigma_n^2 = N_0/2$ die Varianz des AWGN–Rauschens.
In den Teilfragen ab (3) wird zudem auf die mittlere Signalenergie $E_{\rm S}$ Bezug genommen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation sowie das Kapitel Lineare digitale Modulation des Buches „Modulationsverfahren”.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende Näherung:
- $${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$\underline{b = 1 }\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{M = 2} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, erkennbar an der imaginären Basisfunktion $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$. Bei Beschreibung im Bandpassbereich wären die Basisfunktionen cosinus– und (minus–)sinusförmig reell.
(3) Die vorgegebene Gleichung lautet bei On–Off–Keying (OOK) mit $d = \sqrt {E}$, $E_{\rm S} = E/2$ (wobei gleichwahrscheinliche Symbole $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ vorausgesetzt sind) und $\sigma_n^2 = N_0/2$:
- $$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right )= {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E}/2}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ \frac{ E/2}{ N_0} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
Für $E_{\rm S}/N_0 = 9 = 3^2$ ergibt sich somit:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 3} \cdot {\rm e}^{-9/2} = \underline{14.8 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$
Entsprechend gilt für $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm S}/N_0) = 12 \ \rm dB$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0 = 15.85$:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{15.85}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 15.85} } \cdot {\rm e}^{-15.85/2} = \underline{0.362 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Im Unterschied zur Teilaufgabe (3) gilt Binary Phase Shift Keying (BPSK) $d = 2 \cdot \sqrt {E}$ und $E_{\rm S} = E$, beides sogar unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten für $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$. Daraus folgt:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
Mit $E_{\rm S}/N_0 = 9$ ergibt sich daraus der Zahlenwert:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{18}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 18} } \cdot {\rm e}^{-18/2} = \underline{117 \cdot 10^{-8}} \hspace{0.05cm},$$
und mit $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ \rm dB$ ⇒ $2E_{\rm S}/N_0 = 31.7$:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{31.7}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 31.7} } \cdot {\rm e}^{-31.7/2} = \underline{0.926 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$