Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.5Z: SPC (5, 4) vs. RC (5, 1)"
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− | Zwischen dem ''Single Parity–check Code'' und dem ''Repetition Code'' gleicher Codelänge | + | Zwischen dem ''Single Parity–check Code'' und dem ''Repetition Code'' gleicher Codelänge $n$ besteht eine gewisse Verwandtschaft. Wie im Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer |
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:$$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | *Ein jeder [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes|Wiederholungscode]](englisch: ''Repetition Code'') ist durch den Codeparameter $k = 1$ charakterisiert. Beim RC (5, 1) lauten die beiden Codeworte (0, 0, 0, 0, 0) und (1, 1, 1, 1, 1). | + | *Ein jeder [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes|Wiederholungscode]](englisch: ''Repetition Code'') ist durch den Codeparameter $k = 1$ charakterisiert. Beim $\rm RC (5, \ 1)$ lauten die beiden Codeworte $(0, 0, 0, 0, 0)$ und $(1, 1, 1, 1, 1)$. |
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Die Grafik zeigt die Grundstruktur dieser beiden Codes, die in dieser Aufgabe miteinander verglichen werden sollen. | Die Grafik zeigt die Grundstruktur dieser beiden Codes, die in dieser Aufgabe miteinander verglichen werden sollen. | ||
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+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single Parity.E2.80.93check_Codes|Single Paritynash;check Codes]] sowie [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes|Wiederholungscodes]]. | ||
+ | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
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− | {Wie unterscheiden sich SPC (5, 4) und RC (5, 1) hinsichtlich | + | {Wie unterscheiden sich der SPC (5, 4) und der RC (5, 1) hinsichtlich des Codeumfangs? |
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− | $\ {\rm SPC} (5, 4): | + | $\ {\rm SPC} \ (5, 4)\text{:}\hspace{0.4cm}|\mathcal{C}| \ = \ $ { 16 3% } |
− | $\ {\rm | + | $\ {\rm RC} \ (5, 1)\text{:}\hspace{0.6cm}|\mathcal{C}| \ = \ $ { 2 3% } |
{Welche der folgenden Codeworte sind beim SPC (5, 4) möglich? | {Welche der folgenden Codeworte sind beim SPC (5, 4) möglich? | ||
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− | + (0, 0, 0, 0, 0), | + | + $(0, 0, 0, 0, 0)$, |
− | - (0, 0, 1, 0, 0), | + | - $(0, 0, 1, 0, 0)$, |
− | + (1, 1, 0, 1, 1), | + | + $(1, 1, 0, 1, 1)$, |
− | - (1, 1, 1, 1, 1). | + | - $(1, 1, 1, 1, 1)$. |
{Welche der folgenden Codeworte sind beim RC (5, 1) möglich? | {Welche der folgenden Codeworte sind beim RC (5, 1) möglich? | ||
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− | + (0, 0, 0, 0, 0), | + | + $(0, 0, 0, 0, 0)$, |
− | - (0, 0, 1, 0, 0), | + | - $(0, 0, 1, 0, 0)$, |
− | - (1, 1, 0, 1, 1), | + | - $(1, 1, 0, 1, 1)$, |
− | +(1, 1, 1, 1, 1). | + | +$(1, 1, 1, 1, 1)$. |
− | {Wieviele Codefolgen ( | + | {Wieviele Codefolgen $(N)$ müssen in die Maximum–Likelihood–Entscheidung einbezogen werden? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ {\rm SPC} (5, 4): | + | $\ {\rm SPC} \ (5, 4)\text{:}\hspace{0.4cm}N \ = \ $ { 32 } |
− | $\ {\rm RC} (5, 1): | + | $\ {\rm RC} \ (5, 1)\text{:}\hspace{0.6cm}N \ = \ $ { 32 } |
{Wie groß ist die minimale Distanz beider Codes? | {Wie groß ist die minimale Distanz beider Codes? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ {\rm SPC} (5, 4): | + | $\ {\rm SPC} \ (5, 4)\text{:}\hspace{0.4cm}d_{\rm min} \ = \ $ { 2 } |
− | $\ {\rm RC} (5, 1): | + | $\ {\rm RC} \ (5, 1)\text{:}\hspace{0.6cm}d_{\rm min} \ = \ $ { 5 } |
− | {Bis zu wievielen Bitfehlern ( | + | {Bis zu wievielen Bitfehlern $(e)$ funktioniert die Fehlererkennung? |
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− | $\ {\rm SPC} (5, 4): | + | $\ {\rm SPC} \ (5, 4)\text{:}\hspace{0.4cm}e \ = \ $ { 1 } |
− | $\ {\rm RC} (5, 1): | + | $\ {\rm RC} \ (5, 1)\text{:}\hspace{0.6cm}e \ = \ $ { 4 } |
− | {Bis zu wievielen Bitfehlern ( | + | {Bis zu wievielen Bitfehlern $(t)$ funktioniert die Fehlerkorrektur? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ {\rm SPC} (5, 4): | + | $\ {\rm SPC} \ (5, 4)\text{:}\hspace{0.4cm}t \ = \ $ { 0. } |
− | $\ {\rm RC} (5, 1): | + | $\ {\rm RC} \ (5, 1)\text{:}\hspace{0.6cm}t \ = \ ${ 2 } |
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Revision as of 18:43, 11 December 2017
Zwischen dem Single Parity–check Code und dem Repetition Code gleicher Codelänge $n$ besteht eine gewisse Verwandtschaft. Wie im Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes noch gezeigt werden wird, handelt es sich um so genannte duale Codes.
- Der Single Parity–check Code mit den Parametern $k = 4$ und $n = 5$ ⇒ $\rm SPC \ (5, 4)$ fügt zu den vier Informationsbits $u_{1}$, ... , $u_{4}$ ein Prüfbit '$p$ hinzu, so dass in jedem Codewort $\underline{x}$ eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
- $$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
- Ein jeder Wiederholungscode(englisch: Repetition Code) ist durch den Codeparameter $k = 1$ charakterisiert. Beim $\rm RC (5, \ 1)$ lauten die beiden Codeworte $(0, 0, 0, 0, 0)$ und $(1, 1, 1, 1, 1)$.
Die Grafik zeigt die Grundstruktur dieser beiden Codes, die in dieser Aufgabe miteinander verglichen werden sollen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Beispiele binärer Blockcodes.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Single Paritynash;check Codes sowie Wiederholungscodes.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Bei jedem Single Parity–check Code ist die Anzahl der Einsen geradzahlig ⇒ Antwort 1 und 3.
(3) Bei einem jeden Wiederholungscode gibt es (unabhängig von n) nur zwei Codeworte, die beide hier angegeben sind ⇒ Antwort 1 und 4.
(4) Aufgrund von Bitfehlern kann es für den Empfangsvektor y stets $N = 2^n \underline{= 32}$ unterschiedliche Bitkombinationen geben, die alle in die ML–Entscheidung einbezogen werden müssen. Dies gilt sowohl für den SPC (5, 4) als auch für den RC (5, 1).
(5) Beim SPC (5, 4) beträgt die Hamming–Distanz zwischen zwei beliebigen Codeworten mindestens $d_{\rm min} \underline{= 2}$. Dagegen sind beim RC (5, 1) alle Bit der beiden Codeworte unterschiedlich ⇒ $d_{\rm min} \underline{= 5}$.
(6) Eine Fehlererkennung ist möglich, so lange nicht mehr als $e = d_{\rm min} – 1$ Bitfehler in einem Codewort auftreten. Mit dem Ergebnis aus 5) erhält man $\underline{e = 1}$ (SPC) bzw. $\underline{e = 4}$ (RC).
(7) Allgemein gilt für die Anzahl der korrigierbaren Fehler:
- $$t = \left\lfloor \frac{d_{\rm min}-1}{2} \right\rfloor \hspace{0.05cm}.$$
Bei jedem Single Parity–check Code ist ($d_{\rm min} – 1)/2 = 0.5 ⇒ \underline{t = 0}$. Dagegen können mit dem RC (5, 1) ⇒ $d_{\rm min} = 5$ bis zu $\underline{t = 2}$ Fehler korrigiert werden.