Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.2Z: Non-Linearities"
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Wir gehen von dem dreieckförmigen Signal ${x(t)}$ gemäß der oberen Abbildung aus. Gibt man dieses Signal auf einen Amplitudenbegrenzer, so entsteht das Signal | Wir gehen von dem dreieckförmigen Signal ${x(t)}$ gemäß der oberen Abbildung aus. Gibt man dieses Signal auf einen Amplitudenbegrenzer, so entsteht das Signal | ||
:$$y(t)=\left\{ {x(t)\atop \rm 1V}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad x(t)\le \rm 1V \atop {\rm sonst}}\right..$$ | :$$y(t)=\left\{ {x(t)\atop \rm 1V}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad x(t)\le \rm 1V \atop {\rm sonst}}\right..$$ | ||
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:$$z(t)=x^2(t).$$ | :$$z(t)=x^2(t).$$ | ||
Die Gleichsignalanteile werden nachfolgend mit $x_0$, $y_0$ bzw. $z_0$ bezeichnet. | Die Gleichsignalanteile werden nachfolgend mit $x_0$, $y_0$ bzw. $z_0$ bezeichnet. | ||
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{Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $x_0$ des Signals ${x(t)}$. | {Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $x_0$ des Signals ${x(t)}$. | ||
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| − | $x_0$ | + | $x_0\ = \ $ { 1 3% } $\text{V}$ |
{Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $y_0$ des Signals ${y(t)}$. | {Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $y_0$ des Signals ${y(t)}$. | ||
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| − | $y_0$ | + | $y_0\ = \ $ { 0.75 3% } $\text{V}$ |
{Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $z_0$ des Signals ${z(t)}$. | {Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $z_0$ des Signals ${z(t)}$. | ||
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| − | $z_0$ | + | $z_0\ = \ $ { 1.333 3% } $\text{V}^2$ |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''1 | + | '''(1)''' Der Gleichsignalanteil $x_0$ ist der Mittelwert des Signals ${x(t)}$. Es genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0 = 1 \, \text{ms}$, und man erhält: |
:$$x_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0}_0 x(t)\,{\rm d} t \hspace{0.15cm}\underline{=1\,\rm V}.$$ | :$$x_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0}_0 x(t)\,{\rm d} t \hspace{0.15cm}\underline{=1\,\rm V}.$$ | ||
| − | '''2 | + | '''(2)''' In der Hälfte der Zeit ist ${y(t)} = 1\, \text{V}$, in der anderen Hälfte liegt es zwischen $0$ und $1\, \text{V}$ mit dem Mittelwert bei $0.5 \,\text{V}$. Daraus folgt $y_0 \underline{= 0.75 \,\text{V}}$. |
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| − | '''3 | + | '''(3)''' Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung im Bereich von $0$ bis $T_0/2$. Mit der entsprechenden Kennlinie gilt dann: |
:$$z_0=\frac{1}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 x^2(t)\,{\rm d}t=\frac{4\rm V^2}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 ({2t}/{T_0})^2\, {\rm d}t={4}/{3}\rm \;V^2 | :$$z_0=\frac{1}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 x^2(t)\,{\rm d}t=\frac{4\rm V^2}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 ({2t}/{T_0})^2\, {\rm d}t={4}/{3}\rm \;V^2 | ||
\hspace{0.15cm}\underline{\approx1.333\rm \;V^2}.$$ | \hspace{0.15cm}\underline{\approx1.333\rm \;V^2}.$$ | ||
Revision as of 10:44, 20 December 2017
Gleichanteil bei Nichtlinearitäten
Wir gehen von dem dreieckförmigen Signal ${x(t)}$ gemäß der oberen Abbildung aus. Gibt man dieses Signal auf einen Amplitudenbegrenzer, so entsteht das Signal
- $$y(t)=\left\{ {x(t)\atop \rm 1V}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad x(t)\le \rm 1V \atop {\rm sonst}}\right..$$
Eine zweite Nichtlinearität liefert das Signal
- $$z(t)=x^2(t).$$
Die Gleichsignalanteile werden nachfolgend mit $x_0$, $y_0$ bzw. $z_0$ bezeichnet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der Gleichsignalanteil $x_0$ ist der Mittelwert des Signals ${x(t)}$. Es genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0 = 1 \, \text{ms}$, und man erhält:
- $$x_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0}_0 x(t)\,{\rm d} t \hspace{0.15cm}\underline{=1\,\rm V}.$$
(2) In der Hälfte der Zeit ist ${y(t)} = 1\, \text{V}$, in der anderen Hälfte liegt es zwischen $0$ und $1\, \text{V}$ mit dem Mittelwert bei $0.5 \,\text{V}$. Daraus folgt $y_0 \underline{= 0.75 \,\text{V}}$.
(3) Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung im Bereich von $0$ bis $T_0/2$. Mit der entsprechenden Kennlinie gilt dann:
- $$z_0=\frac{1}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 x^2(t)\,{\rm d}t=\frac{4\rm V^2}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 ({2t}/{T_0})^2\, {\rm d}t={4}/{3}\rm \;V^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx1.333\rm \;V^2}.$$
