Aufgaben:Exercise 2.5: Three Variants of GF(2 power 4): Difference between revisions
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[[File:P_ID2508__KC_A_2_5.png|right|frame|Potenzen zweier Erweiterungskörper über $\rm GF(2^4)$ – nicht ganz vollständig]] | [[File:P_ID2508__KC_A_2_5.png|right|frame|Potenzen zweier Erweiterungskörper über $\rm GF(2^4)$ – nicht ganz vollständig]] | ||
Irreduzible und primitive Polynome haben große Bedeutung für die Beschreibung von Verfahren zur Fehlerkorrektur. In [[LN97]] findet man zum Beispiel die folgenden irreduziblen Polynome vom Grad $m = 4$: | |||
* $p(x) = x^4 + x +1$, | |||
* $p(x) = x^4 + x^3 + 1$, | |||
* $p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$. | |||
Die beiden ersten Polynome sind auch primitiv. Dies erkennt man aus den Potenztabellen, die rechts angegeben sind – die untere Tabelle (B) allerdings nicht ganz vollständig. Aus beiden Tabellen erkennt man, dass alle Potenzen $\alpha^i$ für $1 ≤ i ≤ 14$ in der Polynomdarstellung ungleich $1$ sind. Erst für $i = 15$ ergibt sich | |||
:$$\alpha^{15} = \alpha^{0} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Koeffizientenvektor\hspace{0.15cm} 0001} | |||
\hspace{0.05cm}.$$ | |||
Nicht angegeben wird, ob sich die rot hinterlegte Tabelle (A) aus dem Polynom $x^4 + x + 1$ oder aus $x^4 + x^3 + 1$ ergibt. Diese Zuordnungen sollen Sie in den Teilaufgaben (1) und (2) treffen. In der Teilaufgabe (3) sollen Sie zudem die fehlenden Potenzen $\alpha^5, \ \alpha^6, \ \alpha^7$ und $\alpha^8$ in der Tabelle (B) ergänzen. | |||
Die Teilaufgabe (4) bezieht sich auf das ebenfalls irreduzible Polynom $p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1$. Entsprechend den oben genannten Kriterien sollen Sie entscheiden, ob dieses Polynom primitiv ist oder nicht. | |||
Revision as of 22:00, 15 December 2017
Irreduzible und primitive Polynome haben große Bedeutung für die Beschreibung von Verfahren zur Fehlerkorrektur. In LN97 findet man zum Beispiel die folgenden irreduziblen Polynome vom Grad $m = 4$:
- $p(x) = x^4 + x +1$,
- $p(x) = x^4 + x^3 + 1$,
- $p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Die beiden ersten Polynome sind auch primitiv. Dies erkennt man aus den Potenztabellen, die rechts angegeben sind – die untere Tabelle (B) allerdings nicht ganz vollständig. Aus beiden Tabellen erkennt man, dass alle Potenzen $\alpha^i$ für $1 ≤ i ≤ 14$ in der Polynomdarstellung ungleich $1$ sind. Erst für $i = 15$ ergibt sich
- $$\alpha^{15} = \alpha^{0} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Koeffizientenvektor\hspace{0.15cm} 0001}
\hspace{0.05cm}.$$
Nicht angegeben wird, ob sich die rot hinterlegte Tabelle (A) aus dem Polynom $x^4 + x + 1$ oder aus $x^4 + x^3 + 1$ ergibt. Diese Zuordnungen sollen Sie in den Teilaufgaben (1) und (2) treffen. In der Teilaufgabe (3) sollen Sie zudem die fehlenden Potenzen $\alpha^5, \ \alpha^6, \ \alpha^7$ und $\alpha^8$ in der Tabelle (B) ergänzen.
Die Teilaufgabe (4) bezieht sich auf das ebenfalls irreduzible Polynom $p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1$. Entsprechend den oben genannten Kriterien sollen Sie entscheiden, ob dieses Polynom primitiv ist oder nicht.
Fragebogen
Musterlösung
