Aufgaben:Exercise 2.09: Reed–Solomon Parameters

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Einige Reed–Solomon–Codes

Nebenstehend finden Sie eine unvollständige Liste möglicher Reed–Solomon–Codes, die bekanntlich auf einem Galoisfeld ${\rm GF}(q) = {\rm GF}(2^m)$ basieren. Der Parameter $m$ gibt an, mit wie vielen Bits ein RS–Codesymbol dargestellt wird. Es gilt:

• $m = 4$ (rote Schrift),
• $m = 5$ (blaue Schrift),
• $m = 6$ (grüne Schrift).

Ein Reed–Solomon–Code wird wie folgt bezeichnet:

1. ${\rm RSC}(n, \ k, \ d_{\rm min})_q$

Die Parameter haben folgende Bedeutung:

• $n$ gibt die Anzahl der Symbole eines Codewortes $\underline{c}$ an  ⇒  Länge des Codes,
• $k$ gibt die Anzahl der Symbole eines Informationsblocks $\underline{u}$ an  ⇒  Dimension des Codes,
• $d_{\rm min}$ kennzeichnet die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten (stets gleich $n-k+1$),
• $q$ gibt einen Hinweis auf die Verwendung des Galoisfeldes ${\rm GF}(q)$

Rechts daneben ist die Binärrepräsentation des gleichen Codes angegeben. Bei dieser Realisierung eines RS–Codes wird jedes Informations– und Codesymbol durch $m \ \rm Bit$ dargestellt. Beispielsweise erkennt man aus der ersten Zeile, dass die minimale Distanz hinsichtlich der Bits ebenfalls $d_{\rm min} = 5$ ist, wenn die minimale Distanz in ${\rm GF}(2^m) \, d_{\rm min} = 5$ beträgt. Damit können bis zu $t = 2$ Bitfehler (oder Symbolfehler) korrigiert und bis zu $e = 4$ Bitfehler (oder Symbolfehler) erkannt werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Es gelte $c_i ∈ {\rm GF}(2^m)$. Welche RS–Codeparameter $n$ ergeben sich?

$m = 4 \text{:} \hspace{0.2cm} n \ = \ $

$m = 5 \text{:} \hspace{0.2cm} n \ = \ $

$m = 6 \text{:} \hspace{0.2cm} n \ = \ $

2

Im Folgenden werden zwei spezielle RS–Codes ($RSC \ 1, \ RSC \ 2$) betrachtet. Mit welchem RS–Parameter $k$ lassen sich genau $t$ Symbolfehler korrigeren?

${\rm RSC} \ 1 \ (m = 4, \ t = 4) \text{:} \hspace{0.2cm} k \ = \ $

${\rm RSC} \ 1 \ (m = 5, \ t = 8) \text{:} \hspace{0.2cm} k \ = \ $

3

Welche Bezeichnungen sind für $\rm RSC 1$ bzw. $\rm RSC \ 2$ richtig?

	$\rm RSC \ 1$ nennt man auch $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16}$.
	$\rm RSC \ 1$ nennt man auch $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 4)_4$.
	$\rm RSC \ 2$ nennt man auch $\rm RSC \, (31, \, 17, \, 15)_{32}$.
	$\rm RSC \ 2$ nennt man auch $\rm RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$.

4

Wieviele Symbolfehler können höchstens erkannt werden?

${\rm mit \ RSC \ 1} \text{:} \hspace{0.2cm} e \ = \ $

${\rm mit \ RSC \ 2} \text{:} \hspace{0.2cm} e \ = \ $

5

Wie lauten die betrachteten Codes in Binärschreibweise?

	$\rm RSC \ 1$ entspricht dem Code $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 36)_2$.
	$\rm RSC \ 1$ entspricht dem Code $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$.
	$\rm RSC \ 2$ entspricht dem Code $\rm RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$.
	$\rm RSC \ 2$ entspricht dem Code $\rm RSC \, (124, \, 60, \, 17)_2$.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)