Aufgaben:Exercise 2.15Z: Block Error Probability once more

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Wahrscheinlichkeiten der Binominalverteilung

Bei Verwendung eines Reed–Solomon–Codes mit der Korrekturfähigkeit $t$ und Bounded Distance Decoding (BDD) erhält man mit

• der Codewortlänge $n$ und
• der Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon_{\rm S}$

für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr(Blockfehler)} =

\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ und verschiedene $\epsilon_{\rm S}$–Werte berechnet und angenähert werden. Obige Gleichung erinnert an die Biomialverteilung. Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung für die Parameter $n = 7$ (Codewortlänge) und $\epsilon_{\rm S} = 0.25$ (Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit).

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete.
• Zur Kontrolle können Sie das folgende interaktive Flash–Modul nutzen:

1. Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung

Fragebogen

1 Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für $\epsilon_{\rm S} = 0.1$?

$\epsilon_{\rm S} = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} \rm Pr(Blockfehler) \ = \ $ $\ \cdot 10^{-2}$

2 Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für $\epsilon_{\rm S} = 0.01$?

$\epsilon_{\rm S} = 0.01 \text{:} \hspace{0.2cm} \rm Pr(Blockfehler) \ = \ $ $\ \cdot 10^{-5}$

3 Welches Ergebnis erhält man, wenn man nur den Term $f = t + 1$ berücksichtigt?

$\rm Näherung \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ = \ $ $\ \cdot 10^{-5}$

4 Welches Ergebnis erhält man näherungsweise für $\epsilon_{\rm S} = 10^{-3}$?

$\epsilon_{\rm S} = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.2cm} \rm Pr(Blockfehler) \ = \ $ $\ \cdot 10^{-8}$

5 Welches $\epsilon_{\rm S}$ benötigt man für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit $10^{-10}$?

${\rm Pr(Blockfehler)} = 10^{-10} \text{:} \hspace{0.2cm} \epsilon_{\rm S} \ = \ $ $\ \cdot 10^{-4}$

Musterlösung

Solution

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