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Revision as of 15:42, 19 December 2017

GMSK-Modulation

Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist bekanntlich $\color{red}{\rm Gaussian \ Minimum \ Shift \ Keying}$, abgekürtzt GMSK. Dabei handelt es sich um eine Art von FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung (CP–FSK), bei der

der Modulationsindex kleinstmöglich ist, um die Orthogonalitätsbedingung noch zu erfüllen ($h = 0.5$: „Minimum Shift Keying”),
ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator eingebracht ist, um noch weiter Bandbreite einzusparen.

Das Bild verdeutlicht den Sachverhalt.

Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu} ∈ ±1$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete Folge für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt wird.

Der Rechteckimpuls sei dimensionslos, symmetrisch und besitze die GSM–Bitdauer $T_{\rm B} = T$:

$$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Damit ergibt sich für das Rechtecksignal:

$$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

Der Gaußtiefpass ist durch Frequenzgang bzw. Impulsantwort gegeben:

$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (\frac{f}{2 f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm},$$

wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die $3 \rm dB$–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden.

Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit:

$$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei wird $g(t)$ als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt:

$$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$

Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden:

$$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$

Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$ und $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$.

Hinweis:

Die Aufgabe bezieht sich auf [[|]]. Verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe das Gaußintegral:

$$\Phi(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere gilt:

Tabelle der Gaußschen Fehlerfunktion

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

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-[[File:|right|frame|]]
+[[File:P_ID1229__Bei_A_3_4.png|right|frame|GMSK-Modulation]]
+Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist bekanntlich $\color{red}{\rm Gaussian \ Minimum \ Shift \  Keying}$, abgekürtzt GMSK. Dabei handelt es sich um eine Art von FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung (CP–FSK), bei der
+*der Modulationsindex kleinstmöglich ist, um die Orthogonalitätsbedingung noch zu erfüllen ($h = 0.5$: „Minimum Shift Keying”),
+*ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator eingebracht ist, um noch weiter Bandbreite einzusparen.
+Das Bild verdeutlicht den Sachverhalt.
+Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu} ∈ ±1$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete Folge für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt wird.
+Der Rechteckimpuls sei dimensionslos, symmetrisch und besitze die GSM–Bitdauer $T_{\rm B} = T$:
+:$$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
+Damit ergibt sich für das Rechtecksignal:
+:$$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
+Der Gaußtiefpass ist durch Frequenzgang bzw. Impulsantwort gegeben:
+:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (\frac{f}{2 f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm},$$
+wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die $3 \rm dB$–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden.
+Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit:
+:$$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
+Hierbei wird $g(t)$ als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt:
+:$$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$
+Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden:
+:$$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$
+Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$ und $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$.
+''Hinweis:''
+Die Aufgabe bezieht sich auf [[|]]. Verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe das Gaußintegral:
+:$$\Phi(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$
+Insbesondere gilt:
+[[File:P_ID1230__Bei_A_3_4b.png|center|frame|Tabelle der Gaußschen Fehlerfunktion]]
 ===Fragebogen===

	Falsch
	Richtig