Aufgaben:Exercise 3.7Z: Rectangular Signal with Echo

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Sendesignal $s(t)$ und Signal $r(t)$ mit Echo

Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $s(t)$ mit den möglichen Amplitudenwerten $0\,\text{ V}$ und $2\hspace{0.05cm}\text{ V}$ und der Periodendauer $T_0 = T = 1 \hspace{0.05cm}\text{ms}$. Bei den Sprungstellen, zum Beispiel bei $t = T/4$, beträgt der Signalwert jeweils $1\hspace{0.05cm}\text{ V}$. Der Gleichanteil (also der Fourierkoeffizient $A_0$) des Signals ist ebenfalls $1\hspace{0.05cm}\text{ V}$. Weiter gilt:

• Aufgrund der Symmetrie (gerade Funktion) sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$.

• Die Koeffizienten $A_n$ mit geradzahligem $n$ sind ebenfalls $0$.

• Für ungeradzahlige Werte von $n$ gilt hingegen:

$$A_n = ( { - 1} )^{\left( {n - 1} \right)/2} \cdot \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{n \cdot {\rm{\pi }}}}.$$

Das Signal $s(t)$ gelangt über zwei Wege zum Empfänger (siehe untere Skizze): Einmal auf dem direkten Pfad und zum zweiten über einen Nebenpfad. Dieser ist durch den Dämpfungsfaktor $\alpha$ und die Laufzeit $\tau$ gekennzeichnet. Daher gilt für das Empfangssignal:

$$r(t) = s(t) + \alpha \cdot s( {t - \tau } ).$$

Der Frequenzgang des Kanals ist $H(f) = R(f)/S(f)$, die Impulsantwort wird mit $h(t)$ bezeichnet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Faltungssatz und Faltungsoperation.
• Wichtige Informationen finden Sie insbesondere auf der Seite Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1 Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Impulsantwort $h(t)$ zu?

	Für $0 ≤ t < \tau$ gilt $h(t) = 1$, für $t > \tau$ ist $h(t) = 1 + \alpha$.
	Es gilt $h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta(t – \tau)$.
	$h(t)$ hat einen gaußförmigen Verlauf.

2 Berechnen Sie das Signal $r(t)$ für die Kanalparameter $\alpha = -0.5$ und $\tau = T/4$. Welche Werte ergeben sich zu den angegebenen Zeiten?

$r(t = 0.2 \cdot T)\ = \ $  $\text{V}$

$r(t = 0.3 \cdot T)\ = \ $  $\text{V}$

3 Berechnen Sie das Signal $r(t)$ mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Welcher Wert ergibt sich bei $t = T/2$?

$r(t = T/2)\ = \ $  $\text{V}$

Musterlösung

Solution

1. Die Impulsantwort ist gleich dem Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein einzelner Diracimpuls zum Zeitpunkt $t = 0$ anliegt:

$$h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta( {t - \tau } ).$$

Richtig ist somit der zweite Lösungsvorschlag.

Faltung von Rechteck und Dirac

2. Es gilt $r(t) = s(t) ∗ h(t)$. Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen:

Die Werte des Empfangssignals lauten allgemein:

• $0.00 < t/T < 0.25: r(t) = –1\text{ V}$,

• $0.25 < t/T < 0.50: r(t) = \,–1 \text{ V}$,

• $0.50 < t/T < 0.75: r(t) = 0 \text{ V}$,

• $0.75 < t/T < 1.00: r(t) = +2 \text{ V}$.

Die gesuchten Werte sind somit $r(t = 0.2 \cdot T) \underline{= +1 \text{ V}}$ und $r(t = 0.3 · T) \underline{= \,–1 \text{ V}}$.

3. Bei ähnlicher Vorgehensweise wie unter 2) erhält man für $r(t)$ ein Gleichsignal von $2 \text{ V}$:

• Die Lücken im Signal $s(t)$ werden durch das Echo $s(t – T/2)$ vollständig aufgefüllt.
• Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten. Der Kanalfrequenzgang lautet mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$:

$$H( f ) = 1 + 1 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT} = 1 + \cos ( {{\rm{\pi }}fT} ) - {\rm{j}} \cdot {\rm{sin}}( {{\rm{\pi }}fT} ).$$

• Das Eingangssignal ${s(t)}$ hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei $f = f_0 = 1/T$, $f = 3 \cdot f_0$, $f = 5 \cdot f_0$ usw..
• Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real- als auch der Imaginärteil von ${H(f)}$ gleich Null.
• Damit erhält man für das Ausgangsspektrum mit $A_0 = 1 \text{ V}$ und $H(f = 0) = 2$:

$$R(f) = A_0 \cdot H(f = 0) \cdot \delta (f) = 2\;{\rm{V}} \cdot \delta (f).$$

Die Fourierrücktransformation liefert damit ebenfalls $r(t) \underline{= 2 \text{ V= const}}$.