Aufgaben:Exercise 1.4: "Pointer diagram" and "Locality Curve"

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Analytisches Signal in komplexer Ebene

Die beiliegende Grafik zeigt das analytische Signal $s_+(t)$ in der komplexen Ebene. Die in den Rechtecken angegebenen Zahlenwerte geben die Zeitpunkte in Mikrosekunden an. Bei allen Vielfachen von $5$ μs ist $s_+(t)$ stets reell und hat dabei folgende Werte:

$$s_+(t = 0) =s_+(t = 50\;{\rm \mu s})= 1.500\hspace{0.05cm},$$

$$s_+(t = 5\;{\rm \mu s}) = s_+(t = 45\;{\rm \mu s})= -1.405\hspace{0.05cm},$$

$$s_+(t = 10\;{\rm \mu s}) = s_+(t = 40\;{\rm \mu s})= 1.155\hspace{0.05cm},$$

$$\text{.....................................} $$

$$s_+(t = 25\;{\rm \mu s}) = -0.500\hspace{0.05cm}.$$

Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass das dazugehörige physikalische Signal folgende Form hat:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T}\cdot t\right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right)\hspace{0.05cm}.$$

Gegeben ist weiterhin die Frequenz des Trägersignals zu $f_{\rm T} = 100$ kHz. Ermittelt werden sollen die drei weiteren Parameter $f_0$, $A_T$ und $A_0$.

Bezug genommen wird auch auf das äquivalente TP–Signal $s_{\rm TP}(t)$, wobei folgender Zusammenhang mit dem analytischen Signal besteht:

$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Allgemeines Modell der Modulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Beschreibung von s(t) mit Hilfe des äquivalenten_TP-Signals.
• Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln Harmonische Schwingung, Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion und Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion des Buches „Signaldarstellung”.

• In unserem Tutorial LNTwww wird die Darstellung des analytischen Signals $s_+(t)$ in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals $s_{\rm TP}(t)$ angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden Interaktionsmodule Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals sowie Ortskurve – Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals.

Fragebogen

1

Geben Sie ausgehend von $s(t)$ die Gleichung für $s_+(t)$ an und vereinfachen Sie diese. Welche Gleichung gilt für das äquivalente Tiefpass–Signal?

	Es gilt   $s_{\rm TP}(t) = A_0 · {\rm e}^{–{\rm j}ω_0t}.$
	Es gilt   $s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} + A_0 · {\rm e}^{+{\rm j}ω_0t}.$
	Es gilt   $s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} + A_0 · \cos(ω_0t).$

2

Bestimmen Sie den Signalparameter $f_0$.

$f_0 \ = \ $ $\ \text{kHz}$

3

Bestimmen Sie die weiteren Signalparameter $A_{\rm T}$ und $A_0$.

$A_{\rm T} \ = \ $

$A_0 \ = \ $

4

Berechnen Sie die Werte des analytischen Signals $s_+(t)$ zu den Zeiten $t = 15$ μs und $t = 20$ μs.

$s_+(t = 15 \ \rm μs) \ = \ $

$s_+(t = 20 \ \rm μs) \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Alle Cosinusfunktionen sind in entsprechende komplexe Exponentialfunktionen umzuwandeln:

$$s_+(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ \frac{A_0}{2} \cdot \left( {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t} + {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t}\right)\right]\hspace{0.05cm}.$$

Mit der Gleichung ${\rm e}^{{\rm j} · α} + {\rm e}^{-{\rm j} · α} = 2 · \cos(α)$ folgt weiter:

$$s_+(t) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \right] \hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man für das äquivalente Tiefpass–Signal:

$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist also derletzte Lösungsvorschlag. Im Kapitel „Hüllkurvendemodulation” des vorliegenden Buches werden wir sehen, dass es sich dabei um die Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines Cosinussignals mit cosinusförmigem Träger handelt.

(2)  Die Periodendauer des analytischen Signals $s_+(t)$ beträgt $T_0 = 50$ μs. Das physikalische Signal $s(t)$ hat die gleiche Periodendauer.
Unter der Voraussetzung, dass $f_{\rm T}$ ein ganzzahliges Vielfaches von $f_0$ ist (was zu überprüfen ist, aber für dieses Beispiel zutrifft), ergibt sich $f_0 = 1/T_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 20 \ \rm kHz}$.

(3)  Bei den gegebenen Zeitpunkten (Vielfache von $5$ μs) gilt für den komplexen Drehzeiger des Trägers:

$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot \hspace{0.05cm} {100\,{\rm kHz}}\cdot \hspace{0.05cm}(k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 5\,{\rm \mu s})} = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}k \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi } = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{falls}} \\ {\rm{falls}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} k \hspace{0.1cm}{\rm gerade} , \\ k \hspace{0.1cm}{\rm ungerade} . \\ \end{array}$$

Deshalb folgt aus der in der Teilaufgabe (1) berechneten Gleichung:

$$k = 0 \Rightarrow \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm},$$

$$k = 5 \Rightarrow \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 25\;{\rm \mu s}) = - \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot {T_0}/{2}) \right] = -A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm}.$$

Ein Vergleich mit der ersten und letzten Gleichung auf dem Angabenblatt zeigt:

$$ s_{\rm +}(t = 0) = A_{\rm T}+ {A_0}=1.5 \hspace{0.05cm}, $$

$$ s_{\rm +}(t = 25\;{\rm \mu s}) = -A_{\rm T}+ {A_0} = -0.5 \hspace{0.05cm}.$$

Daraus erhält man $A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}$ und $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$.

(4)  Zum Zeitpunkt $t = 15$ μs ($k = 3$, ungerade) gilt:

$$ s_{\rm +}(t = 15\;{\rm \mu s}) = - \left[ 1+ 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot 0.015\,{\rm ms}) \right] \hspace{0.05cm}, = -1- 0.5 \cdot \cos (108^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= -0.845} \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 20$ μs ($k = 4$, gerade):

$$ s_{\rm +}(t = 20\;{\rm \mu s}) = 1 + 0.5 \cdot \cos (144^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= 0.595} \hspace{0.05cm}.$$

Bei allen diesen betrachteten Zeitpunkten ist das physikalische Signal $s(t) = {\rm Re}[s_+(t)]$ genau so groß.