Aufgaben:Exercise 4.10: Turbo Encoder for UMTS and LTE

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Turbocoder für UMTS und LTE

Die Mobilfunkstandards UMTS und LTE verwenden jeweils einen Turbocode, der weitgehend identisch ist mit dem im Kapitel Grundlegendes zu den Turbocodes beschriebenen Coder.

• Der $1/n$–Faltungscode ist systematisch, das heißt, dass die Codesequenz $\underline{x}$ die Informationssequenz $\underline{u}$ als Komponente beinhaltet.
• Die Paritysequenzen $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ basieren auf der gleichen Übertragungsfunktion:

$$G_1(D) = G_2(D) = G(D).$$

• $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ verwenden allerdings unterschiedliche Eingangssequenzen $\underline{u}$ bzw. $\underline{u}_{\pi}$. Hierbei kennzeichnet ${\rm \Pi}$ den Interleaver, bei UMTS und LTE meist ein $S$–Random–Interleaver.

Gegebene Filterstruktur

Der wesentliche Unterschied gegenüber der Beschreibung im Theorieteil ergibt sich durch eine andere Übertragungsfunktion $G(D)$, die durch die nebenstehend gezeichnete rekursive Filterstruktur gegeben ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Grundlegendes zu den Turbocodes.
• Erwartet werden Kenntnisse über
  • die algebraische und polynomische Beschreibung von Faltungscodes   ⇒   Kapitel 3.2,
  • die Zustandsbeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm   ⇒   Kapitel 3.3.
• Weitere Hinweise zur Vorgehensweise finden Sie in Aufgabe A4.8 und Aufgabe A4.9.
• Die Informationssequenz $\underline{u}$ wird zur einfacheren Beschreibung in den Teilaufgaben teilweise durch deren $D$–Transformierte angegeben. Beispielsweise gilt:

$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = D+ D^2\hspace{0.05cm},$$

$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = D+ D^8\hspace{0.05cm}.$$

• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Wie lauten die Kenngrößen des betrachteten Turbocodes (Gedächtnis $m$, Einflusslänge $\nu$, Rate $R$)?

$ m \hspace{0.2cm} = \ $

$ \nu \hspace{0.3cm} = \ $

$R \hspace{0.2cm} = \ $

2

Wie lauten die Übertragungsfunktionen $G_1(D) = G_2(D) = G(D)$?

	Es gilt $G(D) = (1 + D + D^3)/(1 + D^2 + D^3)$.
	Es gilt $G(D) = (1 + D^2 + D^3)/(1 + D + D^3)$.

3

Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$?

	Es gilt: $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})$
	Es gilt: $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})$.
	$\underline{g}$ setzt sich bis ins Unendliche fort.

4

Gibt es periodische Anteile innerhalb der Impulsantwort $\underline{g}$?

	Ja, mit Periodendauer $P = 7$.
	Ja, mit Periodendauer $P = 8$.
	Nein.

5

Es sei nun $U(D) = D + D^2$. Welche Aussagen stimmen?

	Die Ausgangsfolge $\underline{p}$ beinhaltet einen periodischen Anteil.
	Die Periode $P$ ist gegenüber $\underline{g}$ unverändert.
	Das Hamming–Gewicht der Eingangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
	Das Hamming–Gewicht der Ausgangsseqenz ist $w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$.

6

Welche Aussagen treffen für $U(D) = D + D^8$ zu?

	Die Ausgangsfolge $\underline{p}$ beinhaltet einen periodischen Anteil.
	Die Periode $P$ ist gegenüber $\underline{g}$ unverändert.
	Das Hamming–Gewicht der Eingangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
	Das Hamming–Gewicht der Ausgangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$.

Musterlösung

Solution

Polynomdivision $G(D) = (1 + D + D^3) \ / \ (1 + D^2 + D^3)$

(1)  Die Codeparameter sind $k = 1$ und $n = 3$   ⇒   Coderate $\underline{R = 1/3}$.

• Das Gedächtnis (englisch: Memory) ist $\underline{m = 3}$.
• Die Einflusslängen ergeben sich zu $\nu = 1, \ \nu_2 = 4$ und $\nu_3 = 4$  ⇒  Gesamteinflusslänge $\underline{\nu = 9}$.

(2)  Wie der Vergleich des rekursiven Filters auf der Angabenseite mit der Filterstruktur im Theorieteil für gebrochen–rationales $G(D)$ zeigt, ist der Lösungsvorschlag 1 richtig.

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Die obere Grafik verdeutlicht die Polynomdivision $(1 + D + D^3) \ / \ (1 + D^2 + D^3)$. Zur Erläuterung:

• Abgebrochen ist die Darstellung mit dem Rest $D^8 + D^9 = D^7 \cdot (D + D^2)$.
• Damit gilt auch:

$$(D^8 + D^9) \hspace{0.05cm} /\hspace{0.05cm} (1+ D^2+ D^3 ) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} D^7 \cdot (D+ D^2+ D^3 + D^6) + {\rm Rest_2}$$

• Nach Zusammenfassen:

$$G(D) = 1 + D + D^2 + D^3 + D^6 + D^8+ D^9+ D^{10} + D^{13} + \hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}. $$

• Die $D$–Rücktransformierte ergibt den Lösungsvorschlag 2:

$$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}. $$

• Die Impulsantwort setzt sich bis ins Unendliche fort   ⇒   Lösungsvorschlag 3 ist ebenfalls richtig.

Zustandsübergangsdiagramm und Impulsantwort

(4)  Die Impulsantwort kann wie folgt ausgedrückt werden:

$$\underline{g}= \Big (\hspace{0.03cm}1\hspace{0.03cm}, \big [ \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm} \big ]_{\rm per} \Big ) \hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{P = 7} \hspace{0.05cm}. $$

Im Zustandsübergangsdiagramm (rechts) ist die Impulsantwort $\underline{g}$ gelb hinterlegt. Die Impulsantwort ergibt sich als die Paritysequenz $\underline{p}$ für die Informationssequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$.

• Die Übergänge im Diagramm sind mit „$u_i|\underline{x}_i$” beschriftet, was gleichbedeutend ist mit „$u_i|u_i p_i$”. Die Paritysequenz $\underline{p}$ (= Impulsantwort $\underline{g}$) ergibt sich somit aus dem jeweiligen zweiten Coderausgangssymbol.
• $\underline{g}$ wird durch folgende Zustände repräsentiert:

$$S_0 → [S_1 → S_2 → S_5 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 ] → [S_1 → \ ... \ → S_4] → \ \text{ ... } $$

(5)  Die folgende Grafik zeigt die Lösung anhand der Generatormatrix $\mathbf{G}$. Es gilt $\underline{u} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... } )$.

$\underline{p} = (0, \, 1, \, 1, \, \text{ ... } ) \cdot \mathbf{G}$

Man erkennt, dass die Lösungsvorschläge 1, 2 und 3 richtig sind:

• Die vorliegende Paritysequenz $\underline{p}$ hat die gleiche Periode $P = 7$ wie die Impulsantwort $\underline{g}$.
• Das Hamming–Gewicht der (begrenzten) Eingangsfolge ist tatsächlich $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
• Der Vorschlag 4 ist falsch. Vielmehr gilt hier für die semi–infinite Ausgangssequenz: $w_{\rm H}(\underline{p}) → \infty$.

Im Übergangsdiagramm werden zunächst die Zustände $S_0 → S_0 → S_1 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 → S_1$ durchlaufen. Danach folgt (unendlich oft) der periodische Anteil $S_1 → S_2 → S_5 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 → S_1$.

(6)  Die letzte Grafik zeigt die Lösung für $U(D) = D + D^8 \Rightarrow \underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$.

$\underline{p} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... }) \cdot \mathbf{G}$

Richtig sind die Lösungsvorschläge 3 und 4:

• Die Eingangssequenz $\underline{u}$ beinhaltet zwei Einsen und die Ausgangssequenz $\underline{p}$ sechs Einsen.
• Ab der Position 10 ist nun die Ausgangssequenz $\underline{p} \equiv\underline{0}$   ⇒   die Vorschläge 1 und 2 treffen also nicht zu.

Weitergehende Hinweise:

• Für einen Turbocode sind insbesondere solche Eingangsfolgen $\underline{u}$, deren $D$–Transformierte als $U(D) = f(D) \cdot [1 + D^{\rm P}]$ darstellbar sind, äußerst ungünstig.
• Sie bewirken den Error Floor, wie er auf der Seite Leistungsfähigkeit der Turbocodes im Theorieteil zu erkennen ist.
• $P$ gibt dabei die Periode der Impulsantwort $\underline{g}$ an.
• In unserem Beispiel gilt $f(D) = D$ und $P = 7$.