Aufgaben:Exercise 3.2: Laplace Transform

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Drei kausale Zeitfunktionen

Kausale Signale und Systeme beschreibt man meist mittels der Laplace–Transformation. Ist $x(t)$ für alle Zeiten $t < 0$ identisch $0$, so lautet die Laplace–Transformierte:

$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{

\infty}

{ x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm
d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

In dieser Aufgabe sollen die Laplace–Transformierten der in der Grafik dargestellten kausalen Signale ermittelt werden. Die folgenden Gleichungen gelten jeweils nur für $t \ge 0$. Für negative Zeiten sind alle Signale identisch Null.

• Cosinussignal mit der Periodendauer $T_0$:

$$x(t) = {\rm cos} (2\pi \cdot {t}/{T_0})= {\rm cos} (\omega_0 \cdot t) \hspace{0.05cm},$$

• Sinussignal mit Periodendauer $T_0$:

$$y(t) = {\rm sin} (2\pi \cdot {t}/{T_0})= {\rm sin} (\omega_0 \cdot t) \hspace{0.05cm},$$

• $\sin(t)/t$–Signal mit äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand $T$:

$$z(t) = {\rm si} (\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x

\hspace{0.05cm}.$$

Da $z(t)$ ebenso wie die anderen hier betrachteten Signale $x(t)$ und $y(t)$ nicht energiebegrenzt ist, kann zur Berechnung der Spektralfunktion nicht die folgende Gleichung herangezogen werden:

$$Z(f) = Z_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it

f}} .$$

Vielmehr ist zu berücksichtigen, dass $z(t) = s(t) \cdot \gamma(t)$ gilt, wobei $s(t)$ hier die herkömmliche symmetrische $\rm si$–Funktion bezeichnet:

$$s(t) = {\rm si} (\pi \cdot {t}/{T}) \quad

\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\quad S(f)$$

Die Fouriertansformierte der Sprungfunktion $\gamma(t)$ lautet:

$$\gamma(t) \quad

\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\quad \Gamma(f) = {1}/{2} \cdot \delta (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$

$S(f)$ ist eine um $f = 0$ symmetrische Rechteckfunktion mit der Höhe $T$ und der Breite $1/T$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion.
• Gegeben sind folgende bestimmte Integrale:

$$\int_{0}^{

\infty}

{  {\rm e}^{-p x} \cdot \cos(qx)}\hspace{0.1cm}{\rm
d}x = \frac{p}{p^2 + q^2}\hspace{0.05cm} , \hspace{1.0cm}\int_{0}^{

\infty}

{  {\rm e}^{-p x} \cdot \sin(qx)}\hspace{0.1cm}{\rm
d}x = \frac{q}{p^2 + q^2}\hspace{0.05cm} , $$

$$\int_{0}^{

\infty}

{  {\rm e}^{-p x} \cdot \frac{\sin(qx)}{x}}\hspace{0.1cm}{\rm
d}x = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}\frac{q}{p}\hspace{0.05cm} ,  \hspace{0.6cm}

\int_{A}^{ B}

{  \frac{1}{x}}\hspace{0.1cm}{\rm
d}x = {\rm ln}\hspace{0.15cm}\frac{B}{A}\hspace{0.05cm} .$$

Fragebogen

1 Berechnen Sie die Laplace–Transformierte $X_{\rm L}(p)$ der kausalen Cosinusfunktion $x(t)$. Wie lautet die richtige Lösung?

	$X_{\rm L}(p) = \omega_0/(p^2 + \omega_0^2)$.
	$X_{\rm L}(p) = p/(p^2 + \omega_0^2)$.
	$X_{\rm L}(p) = 1/(p^2 + \omega_0^2)$.

2 Berechnen Sie die Laplace–Transformierte $Y_{\rm L}(p)$ der kausalen Sinusfunktion $y(t)$. Wie lautet die richtige Lösung?

	$Y_{\rm L}(p) = \omega_0/(p^2 + \omega_0^2)$.
	$Y_{\rm L}(p) = p/(p^2 + \omega_0^2)$.
	$Y_{\rm L}(p) = 1/(p^2 + \omega_0^2)$.

3 Berechnen Sie die Laplace–Transformierte $Z_{\rm L}(p)$ der kausalen $\rm si$–Funktion $z(t)$. Wie lautet die richtige Lösung?

	$Z_{\rm L}(p)$ hat einen rechteckförmigen Verlauf.
	$Z_{\rm L}(p) = \arctan (1/p)$.
	$Z_{\rm L}(p) = T/\pi \cdot \arctan (\pi/(pT))$.

4 Berechnen Sie den Realteil des Spektrums $Z(f)$. Welche Aussagen treffen zu?

	${\rm Re}[Z(f)]$ hat einen rechteckförmigen Verlauf.
	${\rm Re}[Z(f)]$ ist proportional zu $\ln\; |(f \cdot T -0.5)/(f \cdot T +0.5)|.$

5 Berechnen Sie den Imaginärteil von $Z(f)$. Welche Aussagen treffen zu?

	${\rm Im}[Z(f)]$ hat einen rechteckförmigen Verlauf.
	${\rm Im}[Z(f)]$ ist proportional zu $\ln\; |(f \cdot T -0.5)/(f \cdot T +0.5)|.$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der Vorschlag 2:

• Entsprechend der Laplace–Definition gilt mit den vorgegebenen Gleichungen:

$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{

\infty}

{ x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm
d}t = \int\limits_{0}^{

\infty}

{ {\rm cos} (\omega_0 \cdot T) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm
d}t = \frac{p}{p^2 + \omega_0^2}
\hspace{0.05cm} .$$

• Der Vorschlag 3 scheitert von vorneherein aus, da $X_{\rm L}(p)$ die Einheit „Sekunde” aufweisen muss (Integral über die Zeit), während $p$ und $\omega_0$ jeweils die Einheit „1/s” besitzen.

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Hier gilt bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (1):

$$Y_{\rm L}(p) = \int_{0}^{

\infty}

{ {\rm sin} (\omega_0 \cdot T) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm
d}t = \frac{\omega_0}{p^2 + \omega_0^2}
\hspace{0.05cm} .$$

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3: Die $p$–Übertragungsfunktion der kausalen si–Funktion lautet mit dem vorne angegebenen Integral:

$$Z_{\rm L}(p) = \int_{0}^{

\infty}

{ \frac{\sin(\pi \cdot t/T)}{\pi \cdot t/T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm
d}t = \frac{T}{\pi} \cdot {\rm arctan} \; \frac{\pi}{p\cdot T}
\hspace{0.05cm} .$$

• Der Vorschlag 1 gilt nur für die Fouriertransformierte der akausalen si–Funktion.
• Der Vorschlag 2 kann schon allein deshalb nicht stimmen, da hier das Argument der Arcustangens–Funktion dimensionsbehaftet ist.

(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Aus $z(t) = s(t) \cdot \gamma(t)$ folgt mit dem Faltungssatz:

$$Z(f) = S(f) \star \Gamma(f) = {1}/{2}

\cdot S(f) \star \delta (f) + S(f) \star \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$

• Da $S(f)$ reell ist, ergibt sich der Realteil von $Z(f)$ als der erste Term dieser Gleichung:

$${\rm Re}[ Z(f)] = {1}/{2}

\cdot S(f) \star \delta (f) = {1}/{2} \cdot S(f) \hspace{0.05cm}.$$

• Der Realteil von $Z(f)$ hat somit die gleiche Rechteckform wie $S(f)$, ist aber nur halb so hoch:

$${\rm Re}\{ Z(f)\}= \left\{ \begin{array}{c} T/2 \\

0   \end{array} \right.

\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}

 \end{array}

\begin{array}{*{20}c} { |f|< 1/(2T)\hspace{0.05cm},} \\ { |f|> 1/(2T)\hspace{0.05cm},} \end{array} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{{\rm Vorschlag \hspace{0.15cm} 1}}.$$

(5)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Mit dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe folgt für den Imaginärteil:

$${\rm Im}\{ Z(f)\} = S(f) \star \frac{(-1)}{{\rm j} \cdot

2\pi f} \hspace{0.05cm}.$$

• Für hinreichend große Frequenzen $f \ge 1/(2T)$ liefert dieses Faltungsintegral:

$${\rm Im}\{ Z(f)\} = -T \cdot \int_{f- 1/(2T)}^{

f+ 1/(2T)} { \frac{1}{2\pi x}}\hspace{0.1cm}{\rm

d}x =  \frac{T}{2\pi } \cdot {\rm ln}\hspace{0.15cm}\left |\frac{f- 1/(2T)}{f+ 1/(2T)}\right |
\hspace{0.05cm}

\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{{\rm Vorschlag \hspace{0.15cm} 2}}.$$